Определение случайного процесса. Основные подходы к заданию

Такой способ описания случайных процессов универсален, но весьма громоздок. Для получения существенных результатов выделяют наиболее важные частные случаи, допускающие применение более совершенного аналитического аппарата. В частности, удобно рассматривать случайный процессX(t, ω) как функцию двух переменных: t T, ω Ω, которая при любом фиксированном значении t T становится случайной величиной, определенной на вероятностном пространстве (Ω, AА, P), где Ω - непустое множество элементарных событий ω; AА - σ-алгебра подмножеств множества Ω, то есть множество событий; P - вероятностная мера, определенная на AА.

Неслучайная числовая функция x(t)=X(t, ω₀) называется реализацией (траекторией) случайного процесса X(t, ω).

Сечением случайного процесса X(t, ω) называется случайная величина, которая соответствует значению t=t₀.

Если аргумент t принимает все действительные значения или все значения из некоторого интервала T действительной оси, то говорят о случайном процессе с непрерывным временем. Если t принимает только фиксированные значения, то говорят о случайном процессе с дискретным временем.

Если сечение случайного процесса - дискретная случайная величина, то такой процесс называется процессом с дискретными состояниями. Если же любое сечение - непрерывная случайная величина, то случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями.

В общем случае задать случайный процесс аналитически невозможно. Исключение составляют так называемые элементарные случайные процессы, вид которых известен, а случайные величины входят как параметры:

X(t)=Х(t,A₁,…,A_n), где A_i, i=1,…,n - произвольные случайные величины с конкретным распределением.

Пример 1. Рассматривается случайный процесс X(t)=A·e^-t, где А - равномерно распределенная дискретная случайная величина, принимающая значения {-1;0;1}; t≥0. Изобразить все его реализации случайного процесса X(t) и показать сечения в моменты времени t₀=0; t₁=1; t₂=2.

Решение.

Данный случайный процесс является процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями. При t=0 сечением случайного процесса X(t) является дискретная случайная величина А{-1;0;1}, распределенная равномерно.

При t=0 сечением случайного процесса X(t) является дискретная случайная величина А{-1;0;1}, распределенная равномерно.

При t=1 сечением случайного процесса X(t) является дискретная случайная величина {-1/е;0;1/е}., распределенная равномерно.

При t=2 сечением случайного процесса X(t) является дискретная случайная величина {-1/е²;0;1/е²}., распределенная равномерно.

Пример 2. Рассматривается случайный процесс X(t)=sin At, где А - дискретная случайная величина, принимающая значения {0;1;2}; аргумент t принимает дискретные значения {0; π/4; π/2; π }. Изобразить графически все реализации и сечения данного случайного процесса.

Решение.

Данный случайный процесс является процессом с дискретным временем и дискретными состояниями.

Процессов

Функция вида

Функция вида

Решение.

Математическое ожидание: m_Y(t)=M(Xe^-t)=e^-tm_X=me^-t.

Дисперсия: D_Y(t)=D(Xe^-t)=e^-2t DX=σ²e^-2t.

Стандартное отклонение:

Корреляционная функция: K_Y(t₁; t₂)=M((X e^-t1-m e^-t1)×(X e^-t2-m e^-t2))=

= e^-(t1+t2) M(X-m)²=σ² e^-(t1+t2).

Нормированная корреляционная функция:

По условию задачи случайная величина X распределена нормально; при фиксированном значении t сечение Y(t) линейно зависит от случайной величины X, и по свойству нормального распределения сечение Y(t) также распределено нормально с одномерной плотностью распределения:

Пример 4. Найти основные характеристики случайного процесса Y(t)=W×e^-Ut (t>0), где W и U - независимые случайные величины; U распределена равномерно на отрезке [0; а]; W имеет математическое ожидание m_W и стандартное отклонение σ_W.

Решение.

Математическое ожидание: m_Y(t)=M(We^-Ut)=MW×M(e^-Ut)=m_w×*M(e^-Ut);

, (t>0).

Корреляционная функция:

так как

то

Дисперсия:

Пример 5. Найти одномерный закон распределения случайного процесса: Y(t)=Vcos(Ψt-U), где V и U независимые случайные величины; V нормально распределена с параметрами (m_V; σ_V); Ψ-const; U- равномерно распределена на отрезке [0; 2π].

Решение.

Математическое ожидание случайного процесса Y(t):

Дисперсия:

Стандартное отклонение:

Переходим к выводу одномерного закона распределения. Пусть t-фиксированный момент времени, и случайная величина U принимает фиксированное значение U=u - const; u [0; 2π], тогда получаем следующие условные характеристики случайного процесса Y(t):

M(Y(t)| U=u)=m_V×cos(Ψt-u);

D(Y(t)| U=u)= ×cos²(Ψt-u);

σ(Y(t)| U=u)= ×|cos(Ψt-u)|.

Так как случайная величина V распределена нормально и при заданном значении случайной величины U=u все сечения линейно зависимы, то условное распределение в каждом сечении является нормальным и имеет следующую плотность:

Безусловная одномерная плотность случайного процесса Y(t):

Очевидно, что это распределение уже не является нормальным.

Сходимость и непрерывность

Сходимость по вероятности.

Говорят, что последовательность случайных величин {Х_n} сходится по вероятности к случайной величине Х при n®¥, если

Обозначение:

Обратите внимание, что при n®¥ имеет место классическая сходимость вероятности к 1, то есть с возрастанием номера n можно гарантировать сколь угодно близкие к 1 значения вероятности. Но при этом нельзя гарантировать близости значений случайных величин Х_n к значениям случайной величины Х ни при каких сколь угодно больших значениях n, поскольку мы имеем дело со случайными величинами.

Случайный процесс X(t), t T называется стохастически непрерывным в точке t₀ T, если

3. Сходимость в среднем в степени p³1.

Говорят, что последовательность случайных величин {X_n} сходится в среднем в степени p³ 1 к случайной величине Х, если

Обозначение: X_n X.

В частности, {X_n} сходится в среднеквадратичном к случайной величине Х, если

Обозначение:

Случайный процесс X(t), t T называется непрерывным в среднеквадратичном в точке t₀ T, если

4. Сходимость почти наверное (сходимость с вероятностью единица).

Говорят, что последовательность случайных величин {Х_n} сходится почти наверное к случайной величине Х, если

где ωÎW - элементарное событие вероятностного пространства (W, AА, Р).

Обозначение: .

Слабая сходимость.

Говорят, что последовательность { F_Xn(x)} функций распределения случайных величин Х_n слабо сходится к функции распределения F_X(x) случайной величины Х, если имеет место поточечная сходимость в каждой точке непрерывности функции F_X(x).

Обозначение: F_Xn(x)Þ F_X(x).

Решение.

1) Математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, корреляционная функция и нормированная корреляционная функция случайного процесса X(t) имеют вид (см. Пример 3):

2) Переходим к расчету характеристик случайного процесса X^’(t). В соответствии с Tтеоремами 1-3 получаем:

За исключением математического ожидания (которое поменяло знак), все остальные характеристики сохранились полностью. Взаимные корреляционные функции случайного процесса X(t) и его производной X^’(t) имеют вид:

3) В соответствии с Теоремами 41-64 основные характеристики интеграла от случайного процесса X(t) имеют следующие значения:

D (t1;t2)=?????????????

Взаимные корреляционные функции случайного процесса X(t) и его интеграла Y(t):

Выражение вида

,

где φ_ik(t), k=1;2;…-неслучайные функции; V_i, k=1;2;…-некоррелированные центрированные случайные величины, называется каноническим разложением случайного процесса X(t), при этом случайные величины V_i называются коэффициентами канонического разложения; а неслучайные функции φ_ki(t) - координатными функциями канонического разложения.

Рассмотрим характеристики случайного процесса

Так как по условию то

Очевидно, что один и тот же случайный процесс имеет различные виды канонического разложения в зависимости от выбора координатных функций. Более того, даже при состоявшемся выборе координатных функций существует произвол в распределении случайных величин V_к. На практике по итогам экспериментов получают оценки для математического ожидания и корреляционной функции: . После разложения в двойной ряд Фурье по координатным функциям φ_к(t):

получают значения дисперсий D_Vk случайных величин V_k.

Пример 7. Случайный процесс Х(t) имеет следующее каноническое разложение: , где V_k-нормально распределенные некоррелированные случайные величины с параметрами (0; σ_к); m₀(t) - неслучайная функция. Найти основные характеристики случайного процесса Х(t), включая плотности распределения.

Решение.

Из полученных ранее общих формул имеем:

В каждом сечении случайный процесс Х(t) имеет нормальное распределение, так как является линейной комбинацией некоррелированных нормально распределенных случайных величин V_k, при этом одномерная плотность распределения имеет вид:

Двумерный закон распределения также является нормальным и имеет следующую двумерную плотность распределения:

Пример 8. Известныо математическое ожидание m_X(t) и корреляционная функция К_X(t₁;t₂)=t₁t₂ случайного процесса Х(t), где . Найти каноническое разложение Х(t) по координатным функциям при условии, что коэффициенты разложения V_k - нормально распределенные случайные величины.

Решение.

Корреляционная функция имеет следующее разложение

_,

следовательно,

;

;

;

Так как ,

то ; .

Плотность распределения случайных величин V_k:

Каноническое разложение случайного процесса Х(t) имеет вид:

.

Узком и широком смыслах.

Значительное число происходящих в природе событий, в частности, связанных с эксплуатацией технических устройств, носит «почти» установившиейся характер, то есть картина таких событий, подверженных незначительным случайным флуктуациям, тем не менее, в целом с течением времени сохраняется. В этих случаях принятно говорить о стационарных случайных процессах.

Например, летчик выдерживает заданную высоту полета, но разнообразные внешние факторы (порывы ветра, всходящие потоки, изменение тяги двигателей и т.п.) приводят к тому, что высота полета колеблется около заданного значения. Другим примером могла бы служить траектория движения маятника. Если бы он был предоставлен сам себе, то при условии отсутствия систематических факторов, приводящих к затуханию колебаний, маятник находился бы в режиме установившихся колебаний. Но различные внешние факторы (порывы ветра, случайные колебания точки подвеса и т.п.), не меняя в целом параметров колебательного режима, тем не менее делают характеристики движения не детерминированными, а случайными.

Стационарным (однородным во времени) называют случайный процессСП, статистические характеристики которого не меняются с течением времени, то естьт.е. являются инвариантными относительно временных и сдвигов.

Различают случайные процессыСП стационарные в широком и узком смысле.

Таких, что

Выполняется условие

F(t₁; t₂;…;t_n; x₁; x₂;…; x_n)=F(t₁+τ; t₂+τ;…;t_n+τ; x₁; x₂;…; x_n),

и, следовательно, все n-мерные распределения зависят не от моментов времени t₁; t₂;…;t_n, а от n-1 длительности временных промежутков τ_i;:

В частности, одномерная плотность распределения вообще не зависит от времени t:

двумерная плотность сечений в моменты времени t₁ и t₂

n-мерная плотность сечений в моменты времени t₁; t₂...; t_n:

Случайный процессСП Хx(t) называется стационарным в широком смысле, если его моменты первого и второго порядка инвариантны относительно временного сдвига, то есть его математическое ожидание не зависит от времени t и является константой, а корреляционная функция зависит только от длины временного промежутка между сечениями:

Очевидно, что стационарный случайный процессССП в узком смысле является стационарным случайным процессомССП и в широком смысле;, обратное утверждение не верно.

ПроцессаССП

1.

2. 3. Корреляционная функция стационарного случайного процессаССП четна:

поскольку она обладает следующей симметрией

4. Дисперсия стационарного случайного процесса ССП есть константа, равная

знзнаачению ее корреляционной функции в точке :

5.

6. Корреляционная функция стационарного случайного процессаССП является

положительно определенной, то есть

.е.