Электронный газ в модели бесконечно глубокой трехмерной потенциальной ямы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 29Следующая ⇒

Перейдем к описанию электронов в модели трехмерной потенциальной ямы. В первом приближении ее можно считать бесконечно глубокой. Пусть образец имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами Δx, Δy, Δz.

В трехмерном случае фазовое m-пространство для частицы - это шестимерное пространство, по осям которого откладываются три координаты x, y, z и три компоненты импульса p_x, p_y, p_z частицы. Объем фазового пространства кубической формы , здесь ΔV - обычный пространственный объем области, в которой находится частица. Объем элементарной фазовой ячейки в трехмерном случае можно найти из соображений, аналогичных тем, что были изложены выше для одномерного случая. В результате получим, что

Для числа состояний ΔZ в трехмерном случае имеем:

Теперь определим энергию Ферми в трехмерной яме. Как и в одномерном случае энергия Ферми E_F(0) - это энергия электронов на высшем еще заполненном уровне при T = 0. При T = 0 в соответствии с принципом Паули (лекция N 9, § 1) каждое квантовое состояние с E < E_F(0) будет занято одним из общего числа N электронов. Значит, для нахождения E_F(0), нам надо найти зависимость числа состояний ΔZ от энергии E, затем приравнять число состояний с энергией E ≤ E_F(0) числу частиц и выразить из этого равенства E_F(0). Реализуем последовательно эту программу.

Число состояний ΔZ в фазовом объеме ΔГ определяется формулой (10.5).

Фазовый объем ΔГ состояний с импульсом p < p_F(0) определим из следующих соображений.

Так как полная энергия E электронов внутри потенциальной ямы равна кинетической, то

Значит состояния с E ≤ E_F(0) - это состояния, у которых модуль импульса электронов лежит в пределах от нуля до В подпространстве импульсов этим состояниям соответствует сфера радиусом p_F(0). Умножив "объем" этой сферы на объем ямы V получим интересующий нас объем фазового пространстве ΔГ, т.е.

(10.6)

Из (10.5) и (10.6) получим число состояний ΔZ(p) с учетом спина:

Выразим p_F(0) через E_F(0). Т.к. , то

откуда для числа состояний ΔZ(E) с энергией меньше, чем E_F(0):

(10.7)

В дальнейшем нам потребуется выражение для числа состояний на единичный энергетический интервал - плотность состояний g(E).

Очевидно, что

(10.8)

Продифференцировав по Е_F формулу (10.7), получим

Здесь мы заменили Е_F на Е,

Приравняв ΔZ(E_F) (10.7) числу электронов в яме N, получим

Выразим отсюда E_F(0):

здесь - концентрация электронов.

Выразив h через , получим окончательную формулу для E_F(0) - энергии Ферми для электронного газа в трехмерной потенциальной яме:

Температурой Ферми T_F - называют отношение энергии Ферми E_F(0) к постоянной Больцмана k, т.е.

Оценим энергию Ферми E_F(0) и температуру ФермиT_F.

Концентрация свободных электронов в металле порядка 10²⁸÷10²⁹ м^-3. Для n = 5·10²⁸ м^-3 из (10.8) получим:

Для T_F из (10.9) получим:

Итоги лекции N 10

1. Поведение валентных электронов в металлах можно объяснить на основе модели потенциальной ямы. При низких температурах, когда тепловое движение не способно удалить электроны из металла, потенциальную яму можно читать бесконечно глубокой.

2. При Т = 0 учет принципа Паули приводит к последовательному увеличению энергии электронов при заполнении ими квантовых состояний.

3. Энергия Ферми E_F(0) - это энергия электронов на высшем, еще заполненном уровне при Т = 0 К.

4. Квантовая теория свободных электронов в металле для модели трехмерной потенциальной ямы (см. § 2) дает следующую формулу для энергии Ферми (см (10.10)):

здесь - концентрация электронов.

5. Оценки дают для E_F(0) значение около 5 эВ.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

ЛЕКЦИЯ N 11

Электронный газ при Т > 0. Распределение Ферми-Дирака. Анализ функции f(Е)

Итоги лекции N 11

1. Зависимость среднего числа фермионов в одном квантовом состоянии <n(E_i)> от их энергии и температуры называется распределением Ферми-Дирака (см. (11.1)):

здесь Е_F - уровень Ферми, параметр распределения, который определяют из условия нормировки. Другое название этого параметра - химический потенциал, который принято обозначать греческой буквой µ, т.е. E_F ≡ µ.

2. При не очень высоких температурах, когда kT<<E_F для уровня Ферми справедливо приближенное выражение (см. (11.3)):

здесь E_F(0) - энергия Ферми.

3. Так как среднее число фермионов в одном квантовом состоянии изменяется от 0 до 1, т.е. в тех же пределах, что и вероятность f(E_i) заполнения данных квантовых состояний, то для f(E_i) справедлива формула (11.1а), аналогичная формуле (11.1):

4. Анализ функции f(E) при Т=0 К дает следующие результаты:

5. При больших значениях энергии электронов, таких, что Е-Е_F>>kT, для "хвоста" функции f(Е) справедлива формула (11.5):

что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана.

ЛЕКЦИЯ N 12

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США