Сложение целых неотрицательных чисел в количественной теории N0.Свойства сложения.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Сложение чисел(сума)- целого неотрицательного числа «а», которое представлено собойа=n(A) и в= n (В) которое представляет мощное объединение а+в= n(АVВ)

n(АVВ)= n (А)+n(В) где А^В=

Числа а и в –слогаемые.

Теорема:

1)сума 2-ух целых неотрицательных чисел всегда существует единственно.

2)коммутативность сложения "а,в N0, а+в=в+а

3)сочитательное "а,в,с N0,(а+в)+с=а+(в+с)

1+6=6+1

7+6=7+(3+3)=(7+3)+3=10+3

Опеределение разности целых неотрицательных чисел в количественной теории. Критерий существования разности.

Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью дополнения множества В до множества А, таких, что В принадлежит А, n(А)=а, n(В)=в.

Разностью целых неотрицательных чисел: а =n(A), b=n(B),B A называется с=а-в=n(B'a).

Разность вычитания а и в называется такое целое неотрицательное число с, а-в=с, что в+с=а.

Для существования целых неотрицательных чисел необходимо,достаточно,что бы а≥в.

Докажем: 1) достаточное условие существования разности. Дано: а - в = с, доказать: а в. По определению разности следует, что существует дополнение множества В до множества А, и это дополнение имеет мощность, которую можно найти из равенства, известного из теории множеств. n () = n(А)-n(В). Из того, что В является подмножеством А следует, что число элементов в В меньше числа элементов А. n (В)<n (А), следовательно в<а или а>в; В входит в А; n(В)<n(А).

2). Необходимое условие. Дано а в. доказать существование разности (а-в). Если а>в, по определению отношения «меньше» существует множество А1, такое что А1 входит в А и А1~В. Составим разность А и А1. Эта разность всегда существует (А- А1 =С), а следовательно существует С, которое является этой разностью. Из этих условий следует, что С является дополнением А1 до А. С = 1А Мощность С есть мощность дополнения А1 до А. n (С)=n( 1А)=n(А)-n(А1), так как А1 ~ В, то n(А1)=n(В), следовательно n(С)=n(А)-n(В), следовательно с=а-в.

Разность целых неотрицательных чисел находится единственным образом, так как разность есть мощность дополнения подмножеств до множества, а дополнение определяется единственным образом, то и разность целых неотрицательных чисел определяется единственным образом.

Теорема о единственности разности целых неотрицательных чисел в количественной теории. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Теорема: если разность целых неотрицательных чисел существует -то она единственна.

(а+в)-с=(а-с)+в

(а+в)-с=а+(в-с)

Разность целых неотрицательных чисел находится единственным образом, так как разность есть мощность дополнения подмножеств до множества, а дополнение определяется единственным образом, то и разность целых неотрицательных чисел определяется единственным образом.

Вычитание суммы из числа. а-(в+с)=(а-в)-с. Из теории множеств известно А\(ВUС)=(А\В)\С, причем В Ì А; С Ì А; ВUСÌА.

n (А\(ВUС))=n((А\В)\С)

n(А)-n(ВUС)=n(А\В)-n(С)

n(А)-(n(В)+n(С))=(n(А)-n(В))-n(С)

а-(в+с)=(а-в)-с.

Вычитание числа из суммы (а+в)-с=(а-с)+в. Доказательство опирается на свойство множеств (АUВ)\С=(А\С) UВ.

Умножение целых неотрицательных чисел в количественной теории. Теорема о единственности произведения. Свойства произведения.

Произведением целого неотрицательного числа а, которое является мощностью декартового произведения: а =n(A) в = n(В)

а.в= n(А

Произведением числа а на в называется мощность обьединения равномощных между собой множеств: n(A1V….VH2)}B

а.в=а+а+……….аn}1)а.1=ав

2)а.0=0

Свойства произведения. 1. произведение а и в всегда существует и определяется единственным образом. Докажем это свойство, используя первое определение умножения. Так как произведение есть сумма одинаковых слагаемых, и сумма целых неотрицательных чисел всегда существует, то и произведение всегда существует. Так как сумма одинаковых слагаемых а взятых в раз определяется единственным образом, то и произведение находится единственным образом.

2. Для любых а, в, с из того что а=в Þ а*с=в*с. Докажем используя первое определение умножения а=в

а·с=а+а+а+…+а ==== в+в+в+…+в = в·с

с раз с раз

3. Для любых а, в, с, д, из того что а=в и с=д Þа·с=в·д а=в с=д

а·с=а+а+а+…+а==в+в+в+…+в==в+в+в+в+…+в=в·д

с раз с раз д раз

Свойства:

Коммутативность произведения:а

Ассоциативность: (а

Распределительный закон: а.(в+с)=а.в+а.с

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?