Площадь поверхности вращения

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 25 из 25

▷ Похожие статьи

Рассмотрим поверхность, полученную вращением вокруг оси ОХ дуги АВ, описываемой уравнением y=f(x) на интервале [a,b]. Разобьем, как мы это уже неоднократно проделывали, интервал [a,b] на n частей, восставим в точках деления перпендикуляры к оси ОХ и куски дуг Ds заменим прямыми отрезками, соединяющими концы дуг. Площадь поверхности вращения есть предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением ломаной линии, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длины звеньев стремятся к нулю. В этом определении мы, как обычно, пользуемся эквивалентностью длины дуги и хорды (когда длина дуги мала). Для одной узкой полоски поверхности, площадь вычисляется по формуле: DS_i~2pyds, где – длина i-го звена ломаной (рис. 9). Из этого соотношения можно непосредственно вывести формулу для вычисления площади поверхности вращения:

Если поверхность образована вращением кривой вокруг оси OY, то все рассуждения сохраняются, но х и у меняются местами: DS_i~2p х ds и переменной интегрирования будет у (рис. 10): Например, вычислим площадь поверхности шара (рис.11). В полярных координатах формула поверхности фигуры выглядит следующим образом: , и для шара R(j)=Rcosj. Следовательно:

.

Найдем площадь поверхности маковки, образованной вращением вокруг оси OY дуг окружностей. Рассмотрим два варианта.

1. Маковка состоит из сегмента высоты h шара радиуса R и, начиная с 60-ой параллели, - поверхности вращения дуги окружности того же радиуса R вокруг вертикали. Сопряжение дуг гладкое, они имеют общую касательную (рис. 12а).

Площадь сферической части маковки S₁ ищется по известной формуле площади сегмента шара: S₁=2pRh. Площадь верхней части маковки S₂ – площадь поверхности вращения дуги окружности вокруг оси OY. С дугами окружности проще работать в полярной системе координат. Возьмем в качестве переменной интегрирования угол j (рис. 12б) и применим те же рассуждения.

Выпишем, чему равна боковая поверхность узкой цилиндрической полоски. Величина радиуса цилиндра равна R-Rcosj=R(1-cosj). Величина образующей ds=Rdj. Следовательно,

В нашем конкретном случае точке перегиба, до которой мы интегрируем, соответствует значение j₀=60°=p/3 (силуэт верхней части маковки состоит из 2-х дуг окружности, центральный угол которых равен 60°).

S=S₁+S₂=2pRh+2pR²(p/3-sinp/3)=2pRh+2pR²(p/3- =2pRh+2pR²×0,18

Для шлема вместо слагаемого 2pR²×0,18 по формуле S₂=2pRh получается величина:

2pR²(1- =2pR²×0,13, то есть на вогнутую верхушку маковки идет материала ("золота") на 38,5% больше (0,05:0,13=0,385)

2. Маковка с раздвинутыми боками (рис. 13а).

Для того чтобы найти поверхность такой маковки, выпишем формулу для вычисления поверхности вращения выпуклой дуги окружности, центр которой находится на расстоянии а от оси вращения. Такая поверхность не будет частью сферы. Это часть тора. Самый простой пример тора – хорошо всем известный бублик. Лежащий горизонтально бублик получается вращением вокруг вертикальной оси целой окружности. Если вращать не всю окружность, а только некоторую дугу окружности, то получится часть поверхности тора. Как видно из чертежа 13б величина радиуса узкого цилиндра, боковая поверхность которого нас интересует, равна а +Rcosj. Длина образующей ds=Rdj. Следовательно,

Для j₀=60°=p/3 S₂=2pRa×p/3+

Ответы к задачам

Глава 1

1. 2,3515£x£2,399 х~2,4- 2 верных знака

2. 0,6%

3. 1260

4. 38,8%

5. 117,8£х£130

6. 44%

7. 2%, 3%, 4%, 5%; (1-0,01)ⁿ=0,99ⁿ

8. Валютный выгоднее

9. 1,052

10.»е²⁰ копеек или е¹⁸ рублей, ≈е¹²⁰копеек≈1,28∙10⁵²

Глава 2

1. 6

2. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024; 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512;

; ;

3. , 1, 2, 4, 8, 16; 16, 8, 4, 2, 1,

4. 1, 0.6, 0.36, 0.216, 0.1296;

0.4, 0.24, 0.144; 0.0864;

1, 0.618, 0,382, 0.236, 0.146, 0.090;

0.382, 0.236, 0.146, 0.090, 0,056;

2.9%, 5.7%, 8,5%,11,1%;

5. 1, 1.6, 2.56, 4.096, 6.55;

2.6, 4.16, 6.66, 10.646;

1, 1.618, 2.618, 4.236, 6.854;

2.618, 4.236, 6.854;

Глава 4

3. 10м

4. 21,5м; 43м

5. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

13. 1, 1.272, 1.618, 2,058, 2,618

18. 1.618

19.

Глава 7

1. 7,62мм

2. 4,4ц/га

3. 108км/час

4. 148,5; 221,3; 46°

5. 55°; 70,36; 45°

6. 42°

7. 64,7

8. 100; 1,96

9.»4°20'

10. 15,625

11. ~4,9м³; 0,65; 41°

12. ~12л

13. а)7,5м², б) ; в) ; г)~51,6м²

14. 2.5, 37°, 53°, 90°, 3/5, 4/5, 4/3, 3/4

15.

16. 19/35, 1/5, 5/7

17.

18.

Глава 8

1. (6,-4), (4,0), (-2,4), (7,-10),

2. (2,-17), (6,-16), (13/6, -23/6)

3. 0

Глава 9

1. (-1,-2); (-3,-4)

8. у=х+1, у=-х-1

у=х+1, у=-х+1

9. 31,25°; 32°

Глава 10

7. а) ; б)

8. 5; (-3,0), (3,0)

9. ; (-3,0), (3,0)

10. a) a=1/5; b=1/4; b) a=1, b=1/2

11.

12. , ,

13. , ,

Глава 11

1. Квадрат со стороной 30м

2. Квадрат со стороной 200м

Приложение

Таблица значений тригонометрических функций

Курсовое задание

Геометрическая и арифметическая прогрессия циркулем и линейкой

Равносторонний треугольник, арки и треугольная решетка

Древние символы. Деление окружности на равные части

Решетки, пчелиные соты

Кресты, шестиугольная мозаика

Метод квадрата и его диагонали (пропорция 1: )

Среднее геометрическое, золотое сечение, золотой прямоугольник

Золотые треугольники, золотой дракон

Спираль Архимеда

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману