Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признак сравнения (две формы), признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

▷ Похожие статьи

Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда. Для сходимости знакоположительного числового ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
Первый признак сравнения рядов. Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3,... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость . Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть , разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом , то есть, гармонический ряд.

Второй признак сравнения. Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость .

Следствие. Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.

Третий признак сравнения. Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Признак Даламбера. Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.

Замечание. Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Радикальный признак Коши. Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.

Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши. Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале , где ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.

Достаточный признак сходимости знакопеременных числовых рядов.

Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

20)Достаточный признак сходимости знакочаредующихся числовых рядов (признак Лейбница).

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают и предел модуля общего члена ряда равен нулю при , то ряд сходится.

Функциональный ряд, область сходимости. Свойства правильно сходящихся функциональных рядов.

Бесконечная сумма функций u ₁(x) + u ₂(x) +…+ u_n (x) +…, где u_n (x) = f (x,n), называется функциональным рядом. Множество значений х, при подстановке которых в функциональный ряд получается сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.

1. Если все непрерывны в области G, то сумма ряда есть также непрерывная области G функция.

2. Если все аналитичны в области G, то сумма ряда есть также аналитическая в области G функция.

3. Если ряд сходится равномерно в области G, то в нем допустим почленный переход к пределу, то есть

.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте