Принятие последовательных решений в условиях неопределенности.

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 56Следующая ⇒

Критерий Сэвиджа

Этот критерий характеризуется крайней осторожной (пессимистической) позицией к возможным потерям из-за отсутствия достоверных сведений о том, какая из ситуаций, влияющих на экономический результат, будет иметь место в конкретном случае. Реализуется применительно к матрице рисков и потерь.

Матрица потерь строится следующим образом:

1.Находим наибольшее значение по каждому случайному событию Qi

2. Выписываем их в качестве утопических точек отдельно

3.Вычитаем из каждой такой утопической точки соответствующие этому случайному события Хi (пример: для Q1: Xy-X1,Xy-X2,Xy-X3.....).

4.Получаем новую матрицу потерь.

В рамках такого подхода функция, задающая семейство «линий уровня» определяется равенством:

F(u,v,......,z)= max(a_y-u, a_y-v,......, a_y-z)

Целевая функция критерия:

Zs=min(Ki), где Ki=max(Lij), Lij=max(Aij)-Ay, где (Lij) - матрица потерь

i - вариант возможного решения ЛПР

j - вариант возможной ситуации

Aij - доход ЛПР, если будет принято решение i, а ситуация сложится j

А = (Aij) - матрица полезностей.

(Lij) - соответствующая матрица рисков или потерь

Критерий Гурвица

Критерий Гурвица - это взвешенная позиция “пессимизма-оптимизма”.

При С =1 - критерий Гурвица просто соответствует Максиминному критерию.

Составные критерия принятия решений в условиях неопределенности.

Шаг А: требования к допустимому риску.

Вот на этом шаге уточняется критический уровень дохода(или потерь), приемлемый для ЛПР в конкретной ситуации. За основу бреется опорное значение для выбранного опорного критерия. После задается допустимое для ЛПР максимально возможное отклонение Едоп>0 от опорного значения(в худшую сторону).

Шаг Б: блокировка решений с недопустимом риском.

Вот на этом шаге удаляются из исходной матрицы все решения, который не подходят требованиям ЛПР, которые предъявляются к допустимому риску применительно к анализируемой ситуации.

Шаг В: требования к компенсации за риск.

Этот шаг уточняет требования к анализируемым решениям, для которых баланс между риском потерь( при -) и компенсации( при +) является приемлемым для ЛПР.

Шаг Г: блокировка решений с недостаточной компенсацией риска.

Вот на этом шаге из матрицы полезностей(которая будет получена после шага Б) удаляются все решения, которые не соответствуют требованиям ЛПР.

Шаг Д: выбор оптимального решения.

И наконец, на этом шаге для оставшейся «урезанной» матрицы находится оптимальное решение по заранее оговоренном критерию. Это найденное решение и будит являться оптимальным выбором для соответствующего составного критерия.

Последствия решений менеджера, экономиста, инженера проявятся в будущем. А будущее неизвестно. Мы обречены принимать решения в условиях неопределенности. Мы всегда рискуем, поскольку нельзя исключить возможность нежелательных событий. Но можно сократить вероятность их появления. Для этого необходимо спрогнозировать дальнейшее развитие событий, в частности, последствия принимаемых решений.

Задача №1.

Предприятие выпускает два вида продукции: А и В. При этом используются pecypcы: Rl, R2 и R3. Нормы расхода на ресурсы составляют соответственно:

R1: a1, a2

R2: b1,b2

R3: c1, c2

Рыночная цена продукции А составляет-Р1, продукции В-Р2. Необходимо принять решение относительно плана выпуска продукции обеспечивающего максимальный доход. Оценить устойчивость выбранного решения относительно колебания цен на продукцию. Объемы ресурсов: Rl -Vl, R2-V2, R3-V3

Вариант

al

а2

bl

Ь2

cl

с2

Р1

Р2

VI

V2

V3

Обозначим - количество продукции А, - Количество продукции В.

Найти Х=(, ), удовлетворяющие системе

3х₁+5х₂ ? 30 -количество ресурса

2х₁+х₂ ? 20 -количество ресурса

4х₁+6х₂ ? 48 - количество ресурса

и условию

при котором функция дохода принимает максимальное значение.

V = P1 + P2 = 3+ 2 > max

Формулировка задачи.

Графический метод.

Построим ОДЗ и

Неравенства , задают первый квадрант координатной плоскости.

Неравенство 3x1+5x2Ј3_ задает полуплоскость, расположенную под прямой 3x₁+5x₂=30, включая эту прямую.

Неравенство 2x₁+x₂Ј20 задает полуплоскость, расположенную под прямой 2x₁+x₂=20, включая эту прямую.

Неравенство 4x₁+6x₂Ј48 задает полуплоскость, расположенную под прямой 4x₁+6x₂=48, включая эту прямую.

Таким образом, получаем, что множество точек, удовлетворяющее всем неравенствам, Область ОАВС.

Построим вектор N{3;2}. Его проекция на ось равна 3, на ось 2.

Поскольку необходимо найти максимум функции V, будем перемещать прямую l, перпендикулярно вектору H, от начала к концу вектора H, т.е. в направлении возрастания функции V. Перейдя в точку В, прямая l окажется на выходе из многоугольной области ОАВС. Точка В - (крайняя) последняя точка области при движении в направлении вектора H, поэтому значение функции V в этой точке будет наибольшим по сравнению с ее значениями в других точках области.

Поскольку точка В - точка пересечения первой и второй прямой, то ее координаты можно найти, решая систему уравнений:

----------------------------------------------------------------------------------------------------м--3x1 +5x2 =--3_

----------------------------------------------------------------------------------------------------н

----------------------------------------------------------------------------------------------------о--2+=--2_

Выразим из второго уравнения :

x₂ = 20-2x₁

И подставим в первое уравнение

3x₁+5(20-2x₁) = 30

Откуда x₁ = 10

Подставив в выражение для , получим x2 = 0

Таким образом оптимальное решение - точка В (10,0)

Оценим устойчивость выбранного решения относительно колебания цен на продукцию.

Функция V=3x₁+2x₂ достигает максимального значения в угловой точке В. При изменения коэффициентов целевой функции точка В останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона прямой l будет лежать между углами наклона двух прямых, пересечением которых является точка В. Этими прямыми являются (ограничение на ресурс R1) и (ограничение на ресурс R2).

Алгебраически записывается:

3/5ЈP2/P1--Ј 2/1

_,6--Ј--P2/P1--Ј 2

Таким образом найденное решение будет оптимальным, пока отношение цены продукции А к цене продукции В будет находиться в диапазоне от 0,6 до 2.

Задача 2 (Многокритериальная задача)

Используя условие задачи 1, найти план работы при котором достигается:

А) Максимум дохода

Б) Минимум затрат ресурсов (в натуральном выражении)

В) Максимум выпуска продукции А в натуральном выражении

Задача решается методом уступок Величина уступок выбирается студентом.

Решение

Как было показано в задаче 1, максимум выручки V = P1 + P2 = 3+ 2 > max достигается в точке В (15, 75).

Минимум затрат ресурсов определяется минимумом целевой функции:

R= (3+4+2)x₁ + (5+1+6)x₂ = 9x₁+12x₂ > min

Поскольку ограничения на минимальный объем продукции не заданы, то минимум затрат ресурсов будет достигаться при полном прекращении выпуска продукции, т.е. когда и . Это же видно из рассмотрения области ОАВС на рис. 1. Соответственно минимум функции затрат ресурсов R=0.

В оптимальной по критерию максимума выручки точке В (10,0) целевая функция принимает значение:

V= 3x1+2x2 =3*10+2*0 =30

Примем величину уступки 90%

90%V=30*0,9 =27

То есть

V= 3x1+2x2 =27

Нанесем прямую 3x1+2x2 =27 на график (рис. 2)

Для поиска минимума функции R=9x1+12x2 построим вектор М{9;12}. Его проекция на ось равна 9, на ось 12.

Поскольку необходимо найти минимум функции R, будем перемещать прямую m, перпендикулярно вектору М, от конца к началу вектора М, т.е. в направлении уменьшения функции R. Перейдя в точку К, прямая m окажется на выходе из области КВР. Точка К - крайняя точка прямой 3x1+2x2 =27 в области ОАВС при движении в направлении к началу вектора М, поэтому значение функции R в этой точке будет наименьшим по сравнению с ее значениями в других точках области.

Решив систему уравнений:

----------------------------------------------------------------------------------------------------м--3x1 +5x2 =--3_

----------------------------------------------------------------------------------------------------н

----------------------------------------------------------------------------------------------------о--3+2=--27

Найдем x₁ = 8 1/3

x₂ = 1

Таким образом решение многокритериальной задачи при уступке по максимуму выручки 90% - точка К(8 1/3; 1).

Задача 3 (Принятие решений в условиях неопределенности)

Магазин лродает скоропортящуюся продукцию по А рублей за ящик, закупая ее у поставщиков по В рублей за ящик. Непроданная в течение дня продукция реализуется в конце дня по С рублей за ящик. Суточный спрос на продукцию колеблется от 0 до 10 ящиков. Других сведений о спросе нет. Сколько ящиков продукции должен закупать у оптовиков магазин ежедневно в соответствии с принципами максимакса, максимина и минимакса.

Вариант

N

А

в

С

Решение

Матрица прибыли (платежная матрица)

Объем спроса

Объем закупок

-15

-30

-45

-60

-15

-75

-30

-90

-45

-105

-60

-15

-120

-75

-30

-135

-90

-45

-150

-105

-60

-15

Применив критерий Maximax, найдем такой объем закупок, при котором прибыль магазина максимальна при наиболее благоприятном спросе.

Применив критерий Maximax, найдем такой объем закупок,
при котором прибыль магазина максимальна при наиболее благоприятном спросе.

Объем спроса

MAX

Объем закупок

-15

-30

-45

-60

-15

-75

-30

-90

-45

-105

-60

-15

-120

-75

-30

-135

-90

-45

-150

-105

-60

-15

Таким образом, по критерию Maximax оптимально продавать 30 ящиков.

Применим критерий Maximin (Вальда), найдем такой объем закупок, при котором прибыль магазина за неделю максимальна (убыток минимален) при самых неблагоприятных условиях спроса.

Применим критерий Maximin (Вальда), найдем такой объем закупок,
при котором прибыль магазина за неделю максимальна (убыток минимален)
при самых неблагоприятных условиях спроса.

Объем спроса

MIN

Объем закупок

-15

-15

-30

-30

-45

-45

-60

-15

-60

-75

-30

-75

-90

-45

-90

-105

-60

-15

-105

-120

-75

-30

-120

-135

-90

-45

-135

-150

-105

-60

-15

-150

Таким образом, по критерию Maximin (Вальда), оптимально закупать -15 ящиков.

Применив критерий Minimax определим такой объем закупок, при котором риск магазина (упущена выгода) минимален при самых неблагоприятных условиях спроса.

Записав платежную матрицу:

Применив критерий Minimax определим такой объем закупок,
при котором риск магазина (упущена выгода) минимален
при самых неблагоприятных условиях спроса.

Объем спроса

Объем закупок

-15

-30

-45

-60

-15

-75

-30

-90

-45

-105

-60

-15

-120

-75

-30

-135

-90

-45

-150

-105

-60

-15

MAX

-15

Составим матрицу рисков.

Применив критерий Maximax, найдем такой объем закупок, при котором прибыль магазина максимальна при наиболее благоприятном спросе.

Объем спроса

MAX

Объем закупок

С точки зрения критерия минимаксного риска Сэвиджа оптимальна стратегия, при которой величина риска минимальна - 30, т.е. оптимальное количество закупаемых ящиков - 13 шт.

Задача 4 (Принятие решений в условиях риска)

Основываясь на условиях задачи 3, определить количество закупаемых магазином для продажи ящиков продукции если известны данные о продажах за последние пятьдесят дней.

Количество проданных ящиков

Количество дней продаж

Решение

Рассчитаем вероятности спроса ящиков как доли от общего количества дней продажи.

Количество проданных ящиков

Итого

Количество дней продаж

Вероятность спроса

0,04

0,06

0,1

0,1

0,14

0,16

0,14

0,1

0,08

0,04

0,04

Составим матрицу.

Вероятность спроса

Средняя
прибыль
Р

0,04

0,06

0,1

0,1

0,14

0,16

0,14

0,1

0,08

0,04

0,04

Объем спроса

Объем закупок

-15

28,2

-30

53,7

-45

74,7

-60

-15

91,2

-75

-30

101,4

-90

-45

104,4

-105

-60

-15

101,1

-120

-75

-30

93,3

-135

-90

-45

81,9

-150

-105

-60

-15

68,7

Максимальное значение принимает средняя прибыль для объема закупок 6 ящиков - 104,4.

В хозяйственных организациях руководителям различного уровня часто приходится разрабатывать управленческие решения в условиях недостаточной информации, при этом результаты принятия решений не всегда соответствуют запланированным. В таких случаях ссылаются на непредвиденные неопределенности или риски.

В экономической теории неопределенность чаще всего считалась изначально характерной реальной среде функционирования экономической системы. Как описывает Тычинский А.В. [7] одним из немногих случаев использования неопределенности для объяснения экономических явлений экономистами-теоретиками можно считать трактовку феномена прибыли американским ученым Ф. Найтом. В своей работе «Риск, неопределенность и прибыль» использовал разграничение между двумя видами риска, назвав непредсказуемый риск «неопределенностью». Предсказуемый риск — это просчитываемая вероятность неудачи, которая поддается оценке и страхованию, а неопределенность — это состояние полного отсутствия какой-либо информации о возможном будущем, и эта неопределенность не может быть застрахована.

По мнению Ф. Найта, прибыль предпринимателя является платой именно за действия в условиях неопределенности. Эта прибыль никак не связана с объемом вложений в производство, с уровнем технологий и т.д. Она целиком зависит от деловых способностей экономического агента, причем способностей, не связанных с рациональным расчетом, поскольку в условиях неопределенности такие расчеты в принципе невозможны в силу отсутствия необходимой информации. Как описывает Тычинский А.В. [7], теория Ф. Найта была первой в рамках неоклассического направления, которая вводила понятие неопределенности, как важного составляющего действий экономических агентов.

Неопределённость трактуется как задачи, в которых лицо, принимающее решение, не знает всех действующих факторов и должно сформулировать множество гипотез, прежде чем их оценить. Ситуация неопределённости характеризуется выбором конкретного плана действий, приводящий к любому исходу из конкретного множества исходов, но вероятности их осуществления неизвестны. При этом можно выделить два случая:

- вероятности не известны в силу отсутствия необходимой статистической информации;

- ситуация не статистическая и об объективных вероятностях говорить вообще не имеет смысла. Это ситуация чистой неопределённости в узком смысле. Она наиболее часто встречается в экономике, ведь решения, к примеру, стратегические, принимаются фирмой в уникальных условиях.

Существует мнение, что риск и неопределенность – одинаковые категории, и очень часто разница между этими терминами не приводится. Да, взаимосвязь есть, однако это не одно и тоже.

Как экономическая категория риск представляет собой событие, которое может произойти либо не произойти. В случае совершения такого события возможны три экономических результата:

- отрицательный (проигрыш, ущерб, убыток);

- нулевой;

- положительный (выигрыш, выгода, прибыль).

Под риском понимают ситуацию, когда люди не знают точно, что случится, но представляют вероятность каждого из этих исходов. Неопределённость же означает недостаток информации о будущих событиях и непросчитываемость вероятности. Причем одна и та же ситуация для одного человека может являться ситуацией риска, а для другого – неопределённости.

Риск принятия наихудшего решения в условиях, когда известны все исходные данные, может быть связан:

- с ошибками агрегирования этих данных;

- с неправильно построенной моделью принятия решения;

- с неправильным алгоритмом применения модели принятия решения.

Обычно неопределенность связывают с разработкой управленческих решений, а риск - с реализацией управленческих решений, т.е. с результатами.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?