Содержание. Введение. Каталановы тела. Полуправильные многогранники

       Муниципальное бюджетное общеобразовательное учереждение

           г. Керчи РК «Специализированная школа №19 с углубленным

                                      изучение английского языка

      Индивидуальный итоговый проект

                                    по: геометрии

                                     на тему: Каталановые тела

                                                     Выполнила обучающаяся 9-А класса

                                                    Жолобова Валентина Александровна

                                                     Научный руководитель

                                                      Сергеева Наталья Сергеевна

Содержание

         Введение……………………………………………………. 3

         Каталановы тела…………………………………………… .4

        1.Полуправильные многогранники………………………. 4

        2.Архимедовы тела………………………………………… 5

        3. Каталановы тела…………………………………………. 6

        Заключение…………………………………………………. 7

         Список литературы…………………………………………. 8

         Приложение…………………………………………………9

Введение

Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и

красотой, как правильные многогранники и сложностью своих форм, как полуправильные многогранники. Они открыли нам попытки

ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую

привлекательность геометрии.

Мной был изучен необходимый непрограммный материал, и захотелось расширить свои знания и представления по данной теме.

Предложенная тема предположила цель работы:

- ознакомиться с понятием правильного многогранника и полуправильного многогранника, с их видами

- развитие пространственного мышления, умения обобщать и анализировать новый материал;

- выяснение значимости понятий правильных и полуправильных многогранников в различных сферах деятельности человека.

В связи с поставленной перед собой целью необходимо было решить ряд задач:

1) организовать поиск, изучение различных источников информации

(печатные, электронные, интернет) и отбор материала, представляющего

интерес по обозначенной теме;

2) обобщить, систематизировать, классифицировать изученный материал;

3.) оценить результат проделанной работы.

Цель: Моя цель показать и рассказать вам, что такое каталановы тела и как они появились, что это такое.

Каталановы тела

 Каталановы тела, двойственные архимедовым, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани (переводимые друг в друга сдвигом, вращением или отражением), равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. 8 Многогранники такого типа называются равноугольно-полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. Архимедовы тела частично получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой. Так могут быть получены первые пять архимедовых тел: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр. Вторая группа архимедовых тел представлена двумя многогранниками, являющимися

результатом пересечения двух платоновх тел подходящих размеров и расположенных так, что их центры совпадают. Это кубооктаэдр - результат пересечения куба и октаэдра и икосадодекаэдр - результат пересечения икосаэдра и додекаэдра. В результате усечения кубооктаэдра и икосододекаэдра получены следующие два многогранника – ромбокубооктаэдр и ромбоикосододекаэдр. Дальнейшее видоизменения могут превратить их в два других многогранника- усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр. Последние два архимедовых тел- «курносый» куб и «курносый» додекаэдр. Термин курносый означает, что каждую грань многогранника окружили треугольники, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в каждой вершине добавили еще один многоугольник.                              

Архимедовы тела

Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани - правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы - в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие пространственной симметрии.

Двойственные архимедовым телам, так называемые каталановы тела, имеют равные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Как и архимедовы тела, каталановы тела насчитывают 13 фигур. Правильные призмы и антипризмы — это выпуклые однородные многогранники, имеющие гранями несколько различных выпуклых многоугольников. Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники. Именно правильные призмы образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников, другую последовательность образуют антипризмы — полуправильные многогранники, у которых две параллельные грани (основания) — равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) — правильные треугольники. Антипризма получается, если повернуть одно основание призмы относительно другого и поочередно, зигзагом, соединить вершины. В каждой вершине антипризмы встречаются четыре грани –основание и три боковых треугольника.

Каталановы тела

 Каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического (прил. 2 рис.1),

Октаэдрического (прил. 2 рис.4),

Икосаэдрического (прил. 2 рис.8).

То есть, полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

Все грани являются правильными многоугольниками;

Все грани одинаковы;

Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.

Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.

Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Следует отметить, что изучая информационные источники:

- я столкнулась с разнообразными видами правильных и полуправильных многогранников

мне пришлось окунуться в мир многообразия новых для меняя терминов, а, так же понять, что собранные мной сведения выходят за рамки школьного курса геометрии,

- выяснила, что правильные многогранники удивительным образом связаны с мифологическими существами.

Таким образом, учитывая все законы пространства и изучив различные типы правильных многогранников можно сделать вывод, что самое прекрасное и совершенное приходит к нам от природы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.–5-е изд.– М: Просвещение, 1997.

2. Лаптев Б.Л. Н.И. Лобачевский и его геометрия. М.: Просвещение,1976.

3. Фридман Л.М. Изучаем математику, Москва, «Просвещение», 1995г

4.Гарднер М. Математические новеллы. Пер. с англ. Ю.А. Данилова. М., «Мир», 1974.

5. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М., Просвещение, 1992.

6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. М.: Вита-Пресс, 1996

7. Гильберт Д., Кон-фоссен. С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981

 https://allforchildren.ru/why/whatis110.php

  https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/26843

https://ru.wikipedia.org/wiki/Полуправильный_многогранник               

                               Приложение

 Прил.1

                                                                 Прил. 2

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США