РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра механики

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

(вариант №18)

               Теория колебаний

По дисциплине __________________________________________________________

________________________________________________________________________

^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Собственные колебания консервативной системы с одной степенью

свободы вблизи положения равновесия

_____________________________________________________________________________

Автор: студент гр. РТ-10  ____________________ /    Читенджи Ч./

                                                         ^{(подпись)                        (Ф.И.О.)}

ОЦЕНКА: _____________

Дата: ___________________

ПРОВЕРИЛ

Руководитель проекта  профессор   _____________________ / Яковлев А.А./

                                 ^{(должность)                    (подпись)                                                (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

Задание

Таблица 1

Исходные данные

m₁,кг

m₂,кг

m₃,кг

r₂,cм

R₂, cм

ρ, cм

C, Н/м

l, см

η₀, см

, см/с

d=k/n

0,32

1,2

1. Свободные колебания

1.1. Кинетическая энергия

       Общая кинетическая энергия системы будет складываться из кинетических энергий каждого элемента системы, находящейся в движении и обладающих массой:

Рассчитаем кинетическую энергию в текущий момент времени каждой части рассматриваемой колебательной системы. Кинетическая энергия груза – 1 будет представлять собой выражение вида:

где  - обобщенная скорость, м/с.

Тело 2 – бицилиндр совершает вращательное движение относительно оси, проходящей через точку О₂:

где I – осевой момент инерции бицилиндра, рассчитываемый по формуле (1.3), кг∙м², ω₂ –угловая скорость вращения бицилиндра, рассчитываемая по формуле (1.4).

где ρ – радиус инерции бицилиндра, м.

где R₂ – больший радиус бицилиндра, м. Таким образом, окончательно формула нахождения кинетической энергии второго тела выглядит:

Тело 3 совершает вращательное движение относительно оси, проходящей через точку О₃:

Момент инерции стержня найдем с помощью теоремы Штейнера:

       Круговую скорость найдем, учитывая малость колебаний, то есть будем считать скорости в точках В и С одинаковыми, тогда:

       Таким образом, окончательно кинетическая энергия тела – 3 будет равна:

       Общая кинетическая энергия системы:

где m – обобщенная масса системы. При подстановке численных значений:

1.2. Потенциальная энергия

       Потенциальная энергия системы будет складываться из потенциальных энергий тел 1 и 3, а также энергии пружины:

Потенциальная энергия тела 1:

       Для нахождения потенциальной энергии второго тела найдем: насколько смещается центр масс относительно положения равновесия (точка D на рисунке ниже).

Исходя из малости колебаний, будем также считать скорости точек В и С одинаковыми, тогда:

Также в данной системе потенциальной энергией обладает пружина:

где С – жесткость пружины, Н/м, λ – динамическая деформация, м, λ_ст – статическая деформация, м.

       Полная потенциальная энергия системы запишется в следующем виде:

       В положении η=0 система должна находиться в равновесии, поэтому должно выполняться следующее условие:

где μ – обобщенная жесткость системы, Н/м. Подставив численные значения, получим:

1.3. Уравнение Лагранжа

       Уравнение Лагранжа выглядит следующим образом:

       Найдем составляющие этого уравнения для нашей системы:

       Получили уравнение Лагранжа для нашей колебательной системы.

1.4. Дифференциальное уравнение колебаний

       Запишем уравнение Лагранжа с численными коэффициентами:

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.5. Закон колебаний

       Для того чтобы получить закон колебаний необходимо найти интеграл уравнения (1.23), то есть решим его.

Найдем постоянные интегрирования, используя начальные условия:

Таким образом, закон колебаний будет записан:

       Запишем формулу (1.24) в следующем виде:

где а – амплитуда колебаний, рассчитываемая по формуле (1.26), м, α – начальная фаза колебаний, рассчитываемая по формуле (1.27), рад.

Рассчитаем численные значения этих величин и запишем окончательный вид закона колебаний:

1.6. Параметры свободных колебаний

       Рассчитаем следующие параметры колебаний: период, частота, амплитуда, начальная фаза. Период и частота рассчитываются:

       Амплитуда и начальная фаза рассчитывались в предыдущем разделе и равны соответственно 0,4 см и 0,92 рад.

1.7. График колебаний

2. Затухающие колебания

η,см

где k₁, τ₁, f₁ – соответствующие параметры затухающих колебаний: круговая частота, период и частота, n – коэффициент демпфирования, рад/с.

       На рисунке слева представлена часть колебательной системы с учетом вязкого сопротивления, прямо пропорционального обобщенной скорости. С учетом сопротивления уравнение колебаний (1.23) запишется в виде:

                (2.1)

       Второй коэффициент в уравнении (2.1) равен удвоенному значению коэффициента демпфирования. Решим вышеприведенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения запишется в виде:

                                    (2.2)

Определим постоянные интегрирования, используя начальные условия:

                              (2.3)

Также как и для свободных колебаний приведем уравнение (2.3) к виду (1.25):

                                            (2.4)

График затухающих колебаний

Параметры затухающих колебаний

Найдем декремент и логарифмический декремент затухающих колебаний:

Контрольные неравенства

       Все контрольные неравенства выполняются, что говорит о том, что расчеты выполнены верно.

       Выводы:в ходе выполнения работы познакомились с двумя видами колебаний: свободные и затухающие, научились определять их параметры и строить графики, что должно помочь в будущем при расчетах динамических систем различного типа.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов