Краткие теоретические сведения

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 58

Тема: Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведения векторов

Краткие теоретические сведения

Скалярным произведениемдвух векторов а и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженного на косинус угла между ними:

a ·b = |a| · |b| cos α

Свойства скалярного произведения:

1° - симметричность.

2° . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3° Если , то

4° Если и и , то .

5°

6°

7°

Векторным произведением двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} иb= {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат называется вектор, значение которого можно вычислить по формуле:

a×b =

i

j

k

= i(a_yb_z - a_zb_y) - j(a_xb_z - a_zb_x) + k(a_xb_y - a_yb_x)

a_x

a_y

a_z

b_x

b_y

b_z

Смешанным произведением векторов  называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .

Содержание работы

Задание 1.Дано: A(0;1;2), B(√2;1;2), C(√2;2;1), D(0;2;1). Доказать: ABCD – квадрат.

Решение:

1) Найдем координаты векторов, длины которых совпадают с длинами сторон четырехугольника. Координаты вектора – это разность координат конца и начала отрезка.

, , , . По координатам видно, что , . Доказано, что ABCD – параллелограмм.

2) Найдем модули эти векторов по формуле: .

Получаем: . Доказано, что ABCD – ромб.

3) Найдем один угол между векторами. .

Стороны попарно параллельны, стороны равны, и один угол равен 90°, значит остальные углы тоже равны 90°. Следовательно, ABCD – квадрат, что и требовалось доказать.

Задание 2. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение:

a· [b×c] =

=

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

Задание 3. Найти объем пирамиды построенной на векторах a = {1; 2; 3}, b = {1; -1; 1}, c = {2; 0; -1}.

Решение: Найдем смешанное произведение этих векторов:

a· [b×c] =

=

-1

-1

= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 - 3·(-1)·2 - 2·1·(-1) - 1·1·0 = 1 + 4 + 0 + 6 + 2 - 0 = 13

Найдем объем пирамиды воспользовавшись свойствами:

V_пир =

a· [b×c] =

= 2

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров