Скалярное произведение векторовнаходится по формуле: .

Тема: Скалярное произведение векторов.

План занятия:

1. Скалярное произведение векторов.

2. Угол между векторами

3. Примеры

Вопрос 1.

Скалярное произведение векторовнаходится по формуле: .

Рис. 1. Угол между векторами

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1)

2)

3)

4)

Рассмотрим задачу на нахождение скалярного произведения векторов.

Задача 1. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб, O₁ – центр A₁B₁C₁D₁ , AB=a (см. рис. 2).

Рис. 2.

Найти скалярные произведения векторов:

а) . Находим эти вектора на рисунке, они сонаправлены, значит угол между ними 0°, а эти вектора равны a. Получаем:

б) . Эти вектора параллельны и противоположно направлены, значит, угол между ними 180°. Модуль вектора - это диагональ квадрата, , . Получаем: .

в) . Так как эти вектора перпендикулярны (по рисунку), то косинус угла между ними равен 0. Значит, .

г) . Модули этих векторов равны - это диагонали квадратов. Чтобы найти угол между нужными векторами, рассмотрим треугольник A₁C₁B. Этот треугольник равносторонний, значит, угол равен 60°.

· = - 2a²

д) . Эти вектора перпендикулярны, значит, .

е) . Длины этих векторов равны , так как они являются половинами диагоналей. Эти векторы противоположно направлены, угол между ними 180°.

Получаем: .

Вопрос 2.

Пусть даны две прямые a и b, и их направляющие вектора и , заданные координатами. Найдем угол β между прямыми.

Возможны два случая:

1) Если угол φ между векторами острый, то угол φ равен углу β между прямыми. Тогда по формуле скалярного произведения векторов: (см. рис. 1).

Рис. 1. Острый угол между прямыми

2) Если угол φ между векторами тупой, то угол между прямыми равен – (180-φ). Тогда: (см. рис. 2).

Рис. 2. Тупой угол между прямыми

Можно объединить два случая в одной формуле: , где 𝛃 – угол между прямыми, а вектора и - их направляющие вектора.

В 10 классе мы ввели понятие угла между прямой и плоскостью. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Если нам известен направляющий вектор прямой a и вектор , перпендикулярный плоскости α (см. рис. 3), то мы можем выразить угол между прямой и плоскостью через угол между данной прямой и прямой, перпендикулярной плоскости α:

Рис. 3. Угол между прямой и плоскостью

Вопрос 3.

Рассмотрим задачу на нахождение угла между прямыми и угла между прямой и плоскостью.

Дано: правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, .

Найдите:

а) угол между прямыми АС₁ и A₁B;

б) угол между прямой АС₁ и плоскостью АВС.

Решение: Пусть AB=a, тогда AA₁=a√2. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке С, и определим координаты точек A, B, C₁ и A₁: , , , .

Зная координаты конца и начала векторов, находим координаты векторов: , .

б) Так как призма правильная, следовательно . Чтобы найти угол между плоскостью и прямой необходимо знать вектор и вектор, перпендикулярный плоскости ABC – вектор нормали- , . Находим угол между прямой и плоскостью:

С помощью скалярного произведения можно также найти угол между плоскостями.

Рассмотрим две плоскости α и β с нормальными векторами и . Угол φ между плоскостями α и β можно выразить через угол .

Возможны два случая:

1) Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ;

2) Если ψ > 90°, то φ = 180°-ψ .

Значит, угол φ можно найти по формуле: .

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?