Площадь фигуры и её измерение.

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат и площади других ее помещений.

Это обыденное представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника, площадь произвольной плоской фигуры, площадь поверхности многогранника и др. В нашем курсе речь будет идти только о площади многоугольника и произвольной плоской фигуры.

Так же, как и при рассмотрении длины отрезка и величины угла, будем использовать понятие «состоять из», определяя его следующим образом: фигура F состоит (составлена) из фигур F₁ и F₂, если она является их объединением и у них нет общих внутренних точек.

В этой же ситуации можно говорить, что фигура F разбита на фигуры F₁ и F₂. Например, о фигуре F, изображенной на рисунке 2, а, можно сказать, что она состоит из фигур F₁ и F₂, поскольку они не имеют общих внутренних точек. Фигуры F₁ и F₂ на рисунке 2, b имеют общие внутренние точки, поэтому нельзя утверждать, что фигура F состоит из фигур F₁ и F₂. Если фигура F состоит из фигур F₁ и F₂, то пишут: F=F₁ Å F₂.

Определение.Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате измерения площади фигуры – S(F). Это число называют численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади Е. Оно должно удовлетворять условиям:

1. Число S(F) - положительное.

2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3. Если фигура F состоит из фигур F₁ и F₂, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F₁ и F₂.

4. При замене единицы площади численное значение площади данной фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F) = 1.

6. Если фигура F₁ является частью фигуры F₂, то численное значение площади фигуры F₁ не больше численного значения площади фигуры F₂, т.е. F₁Ì F₂Þ S (F₁) ≤ S (F₂) .

В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

В заключение приводим таблицу мер площади и несколько задач.

1 кв. километр (км²) = 1 000 000 кв. метрам (м²);

1 кв. метр (м²) = 100 кв. дециметрам (дм²) = 10 000 кв. сантиметрам (см²);

1 гектар (га) = 100 арам (а) = 10 000 кв. метрам (м²);

1 ар (а) = 100 кв. метрам (м²).

Задача 1. Общая площадь двух земельных участков равна 7,4 га. Длина первого участка 250 м, длина второго участка – 150 м.

Найдите площадь каждого участка, если ширина первого участка на 40 м больше ширины второго участка.

Решение. Пусть х (м) – ширина первого участка, тогда (х – 40) м – ширина второго участка. Площадь первого участка будет равна 250х (м²), а площадь второго – 150 (х – 40) м². Зная, что оба участка занимают площадь 7,4 га = 74000 м², составляем уравнение: 250х + 150 (х – 40) = 74000. 250х + 150х – 6000 = 74000. 400х = 74000 + 6000. 400х = 80000. х = 200.

Исходя из смысла задачи, заключаем, что 200 м – это ширина первого участка. Следовательно, его площадь равна 250 ∙ 200 = 50000 м² = 5 га. И, значит, площадь второго участка равна 7,4 – 5 = 2,4 (га).

Ответ: 5 га; 2,4 га.

Задача 2. Площадь одной стены комнаты равна 14 м 90 дм², а смежной стены – 9 м² 80 дм². В комнате имеется окно площадью 3 м² 50 дм² и дверь площадью 2 м 20 дм². Кроме того, десятая часть стен под потолком не оклеивается обоями. Какую площадь займут обои?

Решение.

1) 14 м² 80 дм² ∙ 2 = 18 м² 160 дм² = 29 м² 80 дм² - площадь двух противоположных стен;

2) 9 м² 80 дм² ∙ 2 = 18 м² 160 дм² = 19 м² 60 дм² - это площадь двух других стен.

3) 29 м² 80 дм² + 19 м² 60 дм² = 48 м² 140 дм² = 40 м² 40 дм² - площадь всех стен.

4) 49 м² 40 дм² ∙ 0,1 = 4940 дм² ∙ 0,1 = 494 дм² = 4 м² 94 дм² - площадь под потолком, не оклеиваемая обоями.

5) 3 м² 50 дм² + 2 м² 20 дм² + 4 м² 94 дм² = 9 м² 164 дм² = 10 м² 64 дм² - площадь стен, которая обоями не оклеивается.

6) 49 м² 40 дм² - 10 м² 64 дм² = 4940 дм² - 1064 дм² = 3876 дм² = 38 м² 76 дм² - площадь, занимаемая обоями.

Ответ: 38 м² 76 дм².

⇐ Предыдущая 12

Познавательные статьи:

Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США

Последнее изменение этой страницы: 2024-07-06; просмотров: 36; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 216.73.217.21 (0.006 с.)