Брайн Дэвис: «Куда идет математика?»

 (англ. Morris Kline, 1 мая 1908, Нью-Йорк — 10 июня 1992, там же) — американский математик, известный своими работами по истории и философии математики, проблемам математического образования и научно-популярной тематике.Морис Клайн. Математика. Утрата определенности.

Для получения новых результатов математики могут избрать любое из множества соперничающих направлений. Поскольку внутренних критериев, позволяющих отдать предпочтение одному направлению перед другим или как-то обосновать принятое решение, не существует, математик вынужден при выборе направления руководствоваться внешними соображениями. Наиболее важным из них по-прежнему остается традиционный и наиболее объяснимый довод в пользу создания новой и развития уже существующей математики — ее ценность для других наук.

Приложения служат своего рода практическим критерием, которым мы проверяем математику.

Если правильность математики оценивать по ее приложимости к реальному миру, то никакого абсолютного критерия истинности нет и быть не может. Теорема может великолепно сработать в n случаях и дать осечку в (n+1)-м случае. Одно-единственное расхождение с опытом полностью дисквалифицирует теорему. Видоизменяя формулировку теоремы, математики могут прийти (и неоднократно приходили) к поправкам, делающим новый вариант вполне применимым — а значит, «истинным».

Нужна ли математике для своего оправдания абсолютная надежность? Ведь ни к какой другой науке мы не предъявляем таких требований. В физике, например, теории всегда гипотетичны; мы принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно делать полезные предсказания, и видоизменяем или отвергаем ее, коль скоро этого сделать нельзя. Именно так случалось и с математическими теориями, когда в связи с обнаружением в них противоречий приходилось модифицировать не оспариваемые до того времени доктрины. Так почему мы не можем поступать так же и в будущем?

В конце концов именно классическая математика позволяет получать результаты, которые как полезны, так и красивы, и хотя прежней уверенности в ее надежности не стало, классическая математика все же покоится на столь же прочном основании, как, например, существование электрона. Следовательно, тот, кто принимает естественные науки, не может не принять классическую систему математики.

Итак, статус математики ничем не лучше статуса физики.

Итак, все ведущие ученые, работающие в основаниях математики, сходятся на том, что попытка создать приемлемую для всех, логически безупречную математику провалилась. Математика — одна из разновидностей человеческой деятельности, и она подвержена всем слабостям и порокам, присущим всему человеческому.

Можно было бы думать, что тупик, в который зашел нескончаемый спор о том, какую именно математику можно считать «правильной» и какая школа математической мысли является наиболее последовательной, а также множество направлений, по которым математика может далее развиваться (даже оставаясь в рамках одного и того же течения в области оснований), позволит чистым математикам воспользоваться «паузой» и переключиться на решение проблем, связанных с основаниями математики, вместо того чтобы достраивать в разных направлениях здание математической науки, игнорируя шаткость фундамента и рискуя тем, что новые теоремы могут оказаться логически неверными. Но этого не происходит, так что математики пренебрегают как философскими вопросами оснований, так и критерием практической приложимости. Почему же они так охотно работают в областях математики, далеких от приложений?

Это объясняется несколькими причинами. Многие математики ничего не знают о работах по основаниям математики. Стиль деятельности, выработавшийся у математиков XX в., типичен для подхода наших современников ко многим проблемам. Почти каждый математик работает в своем уголке на каком-то этаже огромного здания математики. Покуда те, кто занимается основаниями математики, копают все глубже и глубже, дабы придать зданию устойчивость, обитатели верхних этажей продолжают оставаться на своих рабочих местах и выполнять свои функции. Специалисты по основаниям математики зарылись в землю так глубоко, что их просто не видно. Работающие в здании даже не знают, что кто-то заботится о его устойчивости, и не подозревают, что оно может рухнуть. Без тени сомнения они спокойно продолжают пользоваться традиционной математикой. Пребывая в счастливом неведении о вызовах, бросаемых господствующей доктрине, они трудятся в рамках этой доктрины, не интересуясь ни ее обоснованием, ни дополнительными подкреплениями, коими может служить критерий практики. Другие математики прекрасно осведомлены о разногласиях и пробелах в основаниях математики, но предпочитают держаться в стороне от этих, как они называют, философских (в отличие от чисто математических) проблем. Таким математикам трудно поверить в существование сколько-нибудь серьезных проблем, связанных с основаниями математики, по крайней мере таких, которые касались бы их собственной деятельности. Они предпочитают оставаться верными обветшалому символу веры. Их неписаный девиз гласит: будем действовать так, словно за последние семьдесят пять лет ничего не произошло. Они говорят о доказательстве в некотором общепринятом смысле, хотя этот «зверь» не то что занесен в «Красную книгу», но просто давно вывелся, пишут и публикуют работы, словно никаких разногласий по поводу оснований математики не было и в помине. Единственное, что их интересует, — это число новых публикаций. Чем больше, тем лучше. Если «прагматики» и заботятся о надежных основаниях, то исключительно по воскресеньям, и даже в эти дни они либо возносят молитвы об отпущении грехов, либо воздерживаются от писания новых статей только для того, чтобы почитать, чем занимаются их соперники. Личное преуспевание — превыше всего, а будут ли основания математики надежными, не так уж важно.

Как сказал однажды Лаплас, прогресс стоит человеческому разуму меньших усилий, чем познание самого себя.

Хотя математика — творение чисто человеческое, тот путь, который она открывает нам к различным явлениям природы, приводит к результатам, превосходящим самые смелые ожидания. Как ни парадоксально, но именно абстракции, столь далекие от реальности, позволяют достичь столь многого. Возможно, что искусственное математическое описание не более чем сказка для взрослых, но сказка с моралью: человеческий разум обладает огромной силой, даже если эту силу не так-то легко объяснить.

За успехи математики заплачено определенной ценой, и эта цена — количественный подход к миру: мы рассматриваем его с точки зрения меры, веса, продолжительности и тому подобных понятий. Такое описание может давать о богатом и разнообразном опыте не более полное представление, чем рост человека о человеке. В лучшем случае математика описывает некоторые явления природы, но математические символы передают далеко не все.

Не следует забывать, что математика рассматривает простейшиепонятия и явления физического мира. Она имеет дело не с человеком, а с неодушевленной природой. Явления неодушевленной природы обладают повторяемостью, и математика может описывать их. Но в экономике, политике, психологии, а также в биологии математика пока приносит существенно меньшую пользу… Даже в физике математика имеет дело с упрощениями, лишь касающимися реальности, подобно тому как касательная лишь соприкасается с кривой и приближенно ее передает.

Содержание журнала Достижения науки, техники и культуры

Ссылка на первоисточник статьи: http://elementy.ru/news/164970.

(Профессор Брайан Дэвис, факультет математики Лондонского королевского колледжа) Американское математическое общество приняло к печати статью профессора Брайна Дэвиса (Brian Davies), профессора Лондонского королевского колледжа. В работе, озаглавленной «Whither Mathematics?» («Куда идет математика?»), обосновывается, что в XX веке самая точная из точных наук испытала перелом, который принципиально меняет характер получаемых в ней результатов. В будущем, по мнению профессора Дэвиса, математика станет весьма значительно отличаться от той науки, что была известна на протяжении последних двух тысяч лет.
На протяжении тысячелетий считалось, что математика открывает неопровержимые вечные истины. Множество замечательных математических утверждений, таких как теоремы евклидовой геометрии, верны в наши дни, точно так же, как и две тысячи лет назад. И тем не менее в XX веке математика пережила три глубоких кризиса, которые существенно меняют статус математического исследования.
Первый из этих кризисов связан с теоремой Гёделя о неполноте, которая утверждает, что в любой достаточно богатой аксиоматической системе есть предложения, которые в ее рамках нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Хотя теорема Гёделя оказала довольно незначительное влияние на практическую работу математиков, она самым непосредственным образом связана с проблемой онтологического статуса математических объектов.
Большинство математиков, пишет Брайн Дэвис, интуитивно придерживается концепции, известной как платонизм. Согласно этой концепции, математические сущности и конструкции, подобно платоновым идеям, обладают неким объективным существованием, например в качестве логических возможностей. Но у объективных сущностей все свойства должны быть вполне однозначно определены, что с трудом стыкуется с теоремой Гёделя.
Второй кризис Брайн Дэвис связывает с вторжением в математику компьютеров. Рассматривая пример теоремы о раскрашивании карты четырьмя цветами, он напоминает, что полный перебор всех ветвей в доказательстве удалось выполнить только на компьютере. Однако у многих математиков возникает серьезное сомнение, насколько можно доверять подобным доказательствам, которые никогда не были полностью проверены «вручную».
Критика тут имеет несколько аспектов. Во-первых, компьютер мог дать сбой при вычислениях. Даже если результат проверен несколько раз, это лишь повышает вероятность правильности доказательства, но не сделает его абсолютно надежным. Во-вторых, в процессоре и вспомогательных программах (компиляторе, библиотеках и т. п.) могут содержаться (и даже наверняка содержатся) ошибки, и невозможно полностью исключить их влияние на правильность доказательства. И, наконец, самое главное: сама программа, которая была написана для поиска или проверки доказательства, тоже может содержать ошибки. Строго математически убедиться в том, что она в полной мере соответствует спецификации, настолько же сложно, как и проверить вручную выполненное с ее помощью доказательство (а возможно, и сложнее). Достаточно сказать, что описания языков, на которых пишутся программы, содержат сотни страниц не всегда идеально ясного текста. Включение таких описаний в формулировку теоремы лишает всяких перспектив на получение доказательства.
Все эти соображения привели к тому, что ряд чистых математиков крайне скептически относится к доказательствам, полученным с использованием компьютеров. И тем не менее в последние десятилетия появляется все больше теорем, доказательства которых совершенно необозримы для человеческого разума, если не усиливать его компьютером.
В качестве примера Дэвис приводит решение так называемой задачи Кеплера о наиболее плотной упаковке шаров. В 1998 году Томас Хэйлс (Thomas Hales) представил в журнал Annals of Mathematics доказательство соответствующего утверждения, которое заняло более 250 листов и включало наряду с геометрическими рассуждениями результаты обширных компьютерных расчетов. Группа из двадцати экспертов, начавшая анализировать доказательство, окончательно распалась в 2004 году, так и не придя к окончательному заключению о правильности доказательства.
Но всё же в качестве подлинной кульминации «кошмара сложности» Брайн Дэвис приводит другой пример — проблему, известную под названием классификация простых конечных групп. Для обсуждаемого вопроса не так важно, в чем состоит сама эта проблема. Важно то, что теория групп лежит в основе многих направлений исследований в физике и математике, и поэтому вопрос о классификации групп считается весьма важным.
Для его решения в 1970-е годы был собран своего рода международный консорциум математиков. Около сотни теоретиков разделили между собой работу и приступили к решению проблемы. Это, по-видимому, единственный в истории пример подобного «промышленного» подхода к решению математической проблемы. Постепенно было выделено три бесконечных семейства групп и 26 особых случаев конечных групп (существование самой крупной из них удалось обнаружить только благодаря компьютерам).
После этого встал вопрос о доказательстве исчерпывающего характера этой классификации. Когда работы разных групп стали объединять в одно общее доказательство, стали обнаруживаться многочисленные пробелы. Большую часть из них постепенно удалось закрыть. Тем не менее на данный момент — спустя 25 лет после первого объявления о том, что теорема доказана, — опубликованы только 5 из 12 томов полного доказательства.
По мнению специалистов, доказательство можно считать довольно устойчивым. Но это лишь означает, что известные на сегодня пробелы в доказательстве не выглядят принципиальными и, по-видимому, могут быть закрыты ценой умеренных усилий и без изменения общей стратегии доказательства. Тем не менее само наличие этих пробелов говорит о том, что нельзя дать гарантию надежности гигантского доказательства в целом. Но еще хуже то, что, даже если со временем все пробелы в доказательстве удастся закрыть, вряд ли на всей Земле найдется хотя бы десяток математиков, в достаточной мере понимающих логику монструозного доказательства.
Итак, математика столкнулась с проблемой практически непреодолимой сложности доказательств. Решение важной задачи, которая формулируется в нескольких предложениях, может занимать десятки тысяч страниц, что фактически делает невозможным его полную запись и понимание.
В заключении своей статьи Брайн Дэвис так описывает характер происходящих в математике изменений. «В 1875 году каждый человек, способный к математике, мог за несколько месяцев полностью разобраться в доказательстве большинства известных теорем. К 1975 году ... математики еще могли полностью понять доказательство любой доказанной теоремы. К 2075 году многие области чистой математики будут зависеть от теорем, которые не понимает никто из математиков — ни индивидуально, ни коллективно. ... Обычным делом станет формальная верификация сложных доказательств, но при этом будет много результатов, признание которых будет основано на социальном консенсусе в не меньшей мере, чем на строгом доказательстве».
Подобно инженерам, математики станут говорить не о твердом знании, а о степени уверенности в надежности своих результатов. Это может сблизить математику с другими дисциплинами и, возможно, приведет к снятию философского вопроса об особом онтологическом статусе математических объектов.

Новиков С.П. - Математика на пороге XXI века (Историко-математические исследования)

непомерная формализация, общий спад уровня образования в области математики и физики

(род. 20 марта 1938, Горький, ныне Нижний Новгород) — советский, российский математик, академик АН СССР (1981) и РАН (1991), доктор физико-математических наук.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности