Должны ли экономисты принимать во

↑

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 159Следующая ⇒

4. Деревья решений

Приведенная выше табл. 2.1 может быть представлена в виде дерева решений (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Дерево решений

На этом дереве квадратик означает место, где решение принимает человек, а светлый кружок — место, где все решает случай. На ветвях дерева написаны уже знакомые нам значения вероятностей, а справа у конечных ветвей — значения исходов (результаты).

Для чего нужно дерево решений? Мы можем использовать его для представления своих возможных действий и для нахождения последовательности правильных решений, ведущих к максимальной ожидаемой полезности. Чтобы показать это, усложним задачу. Пусть в вазе 1-го типа содержится 6 красных и 4 черных шара. В вазе второго типа содержится 3 красных и 7 черных шаров. Предоставим человеку, выбирающему между действиями d₁ и d₂, дополнительные возможности. Пусть он может до своего ответа вытащить за определенную плату один шар из вазы, причем после вытаскивания шар кладется обратно в вазу. Плата за вытаскивание одного шара равна 60 д. е.

Дерево решений с двумя его основными ветвями представлено на рис. 2.4. Вот теперь вопрос о том, какое решение следует принимать, стал сложнее: необходимо решить, стоит ли вынимать шар и какой ответ дать после вытаскивания красного или черного шара. При принятии этих решений нам окажет существенную помощь известный в теории вероятностей [4] (и в теории статистических решений) способ подсчета изменения вероятностей событий после получения дополнительной информации.

Рис. 2.4. Дерево решений

Вернемся к описанию задачи. Вероятность вытащить красный шар из вазы 1-го типа p_K(B₁) = 0,6, а из вазы 2-го типа p_K(В₂) = 0,3. Зная все условные вероятности (зависящие от условия), а также вероятности p₁ и p₂ выбора ваз 1-го и 2-го типа (см. табл. 2.1), мы можем поставить следующие вопросы.

Первый вопрос: каковы вероятности вытащить красный и черный шары? Для ответа на этот вопрос произведем простые вычисления. Вероятность вытащить красный шар: p_K(B₁) = 0,7Ä0,6 = 0,42, если ваза окажется 1-го типа, р_к(В₂) = 0,3 Ä0,3 = 0,09, если ваза окажется 2-го типа. Следовательно, вероятность вытащить красный шар в общем случае р_к = 0,51. Аналогичным образом можно посчитать, что вероятность вытащить черный шар р_ч = 0,49.

Второй вопрос более сложный. Пусть вытащенный шар оказался красным (черным). Какое действие следует выбрать: d₁ или d₂? Для ответа на этот вопрос нужно знать вероятности принадлежности ваз к 1-му и 2-му типам после получения дополнительной информации. Эти вероятности позволяет определить знаменитая формула Байеса [4].

Например, мы вытащили красный шар. Какова после этого вероятность того, что перед нами стоит ваза 1-го типа?

Приведем все обозначения вероятностей:

p_K(B₁) — вероятность вытащить красный шар из вазы 1-го типа;

p_Ч(B₁) - вероятность вытащить черный шар из вазы 1-го типа;

p_K(В₂) — вероятность вытащить красный шар из вазы 2-го типа;

p_Ч(В₂) — вероятность вытащить черный шар из вазы 2-го типа;

p(B₁) — вероятность того, что ваза окажется 1-го типа;

р(В₂) — вероятность того, что ваза окажется 2-го типа;

p(B_1/K) — вероятность того, что ваза окажется 1-го типа после вытаскивания красного шара;

p_Ч(B_1/Ч) - вероятность того, что ваза окажется 1-го типа после вытаскивания черного шара;

р(В₂/_к) — вероятность того, что ваза окажется 2-го типа после вытаскивания красного шара;

р(В₂/_ч) — вероятность того, что ваза окажется 2-го типа после вытаскивания черного шара.

Формула Байеса позволяет оценить p(B_i/_K) и p(B_i/_Ч), где 1 = 1, 2, используя все прочие вероятности. Например:

Для нашей задачи: p(B₁/_K) = 0,82; p(B₁/_Ч) = 0,57; p(B₂/_K) = 0,18; р(В_2/ч) = 0,43.

Теперь мы имеем всю информацию, необходимую для принятия решений.

На рис. 2.4 показаны две основные ветви дерева решений, причем верхняя просто повторяет дерево решений на рис. 2.3. Квадратик 1 слева соответствует первому решению — вытаскивать шар или нет. Случаю отказа от вытаскивания шара соответствует верхняя основная ветвь. Решению вытаскивать шар соответствует нижняя ветвь, начинающаяся со случайного события (кружок). В квадратиках 2, 3, 4 принимаются решения о выборе одной из двух стратегий: di или d2. Далее все решает случай (кружки).

Есть три простых правила выбора оптимальной (по критерию максимума ожидаемой полезности) последовательности решений на основе дерева решений:

1) идти от конечных ветвей дерева к его корню;

2) там, где есть случайность (кружок), находится среднее значение;

3) там, где есть этап принятия решений (квадратик), выбирается ветвь с наибольшей ожидаемой полезностью, а другая отсекается двумя черточками.

Применим эти правила к дереву решений, представленному на рис. 2.4. В результате получим дерево решений, показанное на рис. 2.5.

Рис. 2.5. «Сворачивание» дерева решений

На этом рисунке над кружками указаны средние значения полезности, двумя черточками отсечены ветви с меньшим значением ожидаемой полезности. Наилучший вариант действий: шар не вытаскивать и выбирать действие d₁. Этот вариант соответствует самому верхнему пути дерева решений на рис. 2.5. Такая процедура нахождения оптимального пути на деревьях решений получила название «сворачивание» дерева решений.

Деревья решений при заданных числовых значениях вероятностей и исходов позволяют осуществить выбор той стратегии (последовательности действий), при которой достигается наибольший выигрыш, т.е. достигается максимум функции полезности ЛПР.

5. Парадокс Алле

Возникают вопросы: нельзя ли заменить ЛПР автоматом? Сохраняются ли при сворачивании дерева решений какие-то особенности человеческого поведения? Для ответа на эти вопросы приведем известный парадокс Алле [3] (предложенный французским ученым М. Алле), представленный двумя лотереями на рис.2.6.

Рис. 2.6. Парадокс Алле

Обозначим: U(5 млн) = 1; U(l млн) = U; U(0)=0. В левой лотерее есть выбор между действиями А (получить 1 млн) и В (согласиться на лотерею). В экспериментах подавляющее большинство людей предпочитает А. Из этого следует U > 0,1 Ä1 + 0,89 ÄU или U > 10/11.

В правой лотерее есть выбор между действиями С и D (две лотереи). Подавляющее большинство людей предпочитает действие С (почти та же вероятность проиграть, но выигрыш больше). Тогда 1 Ä0,1 > 0,11 ÄU, т.е. U < 10/11. Совершая такой выбор, люди действуют не в соответствии с функцией полезности.

Приведем еще один пример. Рассмотрим две лотереи, показанные на рис. 2.7. Легко убедиться в том, что средняя цена лотерей одинакова. Но это не означает, что людям безразлично, какую из них выбрать. Подчеркнем, что свобода выбора остается за ЛПР. Предъявление различным группам людей лотерей показало, что люди предпочитают правую лотерею, где при той же средней цене риск проигрыша исключен.

Рис. 2.7. Сравнение двух лотерей

Как же можно объяснить такое поведение людей? Может быть, стоит усомниться в существовании функции полезности? Этот вопрос становится еще более существенным для задач принятия решений, в которых нет информации для объективного подсчета вероятностей. В таких задачах (а их гораздо больше, чем формальных задач с вазами) только эксперты могут дать значения вероятностей. Ясно, что эти значения субъективны. Потребовалось формальное обоснование теории полезности с субъективными вероятностями — теории субъективной ожидаемой полезности [5]. Она также построена аксиоматически.

Но и после построения этой теории остаются те же вопросы о причинах парадоксального поведения людей в задачах принятия решений, где в качестве метода выбора использовались деревья решений и максимизация субъективной ожидаемой полезности.

6. Нерациональное поведение.

Эвристики и смещения

Значительную часть фундамента экономики как науки составляет теория полезности. И вдруг в 60-е и 70-е годы появились работы, в которых систематически демонстрировалось отклонение поведения людей от рационального. Авторами наиболее известных работ были: Г.Райфа, М.Алле, А.Тверский, П.Словик, Б.Фишхоф, Д.Канеман, С.Лихтенштейн.

Приведем один из наиболее известных примеров нерационального поведения людей — «дилемму генерала» [6]. Генерал потерпел поражение в войне и хочет вывести свои войска (600 чел.) с территории противника. У него есть две возможные дороги, и разведка дала оценки возможных потерь при выборе каждой из них. Данные о дорогах и возможных потерях представлены на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Дилемма генерала

Большинство людей, рассматривающих дилемму, показанную на рис. 2.8, выбирают первую дорогу, стараясь избежать лотереи, когда в одном из исходов погибает весь личный состав соединения. Но эта же дилемма была представлена испытуемым в ином виде (рис. 2.9). Теперь уже большинство испытуемых выбирает вторую дорогу, так как на ней с вероятностью р = 1/3 можно спасти все соединение. Легко увидеть, что лотереи на рис. 2.8 и 2.9 эквивалентны, но одна из них представлена в виде выигрышей, а другая — в виде потерь.

Рис. 2.9. Иное представление дилеммы генерала

Многочисленные эксперименты продемонстрировали отклонение поведения людей от рационального, определили эвристики, которые используются при принятии решений. Перечислим наиболее известные эвристики [7].

1. Суждение по представительности. Люди часто судят о вероятности того, что объект А принадлежит к классу В только по похожести А на типовой объект класса В. Они почти не учитывают априорные вероятности, влияющие на эту принадлежность. В одном из опытов испытуемым дали краткие описания субъектов из группы в составе 100 человек и попросили определить вероятности того, что рассматриваемый субъект является юристом или инженером при условиях: 1) в группе 70 инженеров и 30 юристов; 2) в группе 30 инженеров и 70 юристов. Ответы были примерно одинаковы. В других экспериментах было показано, что люди ориентируются только на представительность, не учитывая даже размер выборки, по которой выносится суждение.

2. Суждение по встречаемости. Люди часто определяют вероятности событий по тому, как часто они сами сталкивались с этими событиями и насколько важными для них были эти встречи. Так, в одном из опытов испытуемые оценили вероятности нахождения буквы «k» в английских словах на первом и третьем месте. Большинству людей было легче вспомнить слова с буквой «k» на первом месте, и они определили соответствующую вероятность как большую, хотя в действительности справедливо обратное (на третьем месте буква «k» встречается значительно чаще). Тверский и Канеман отмечают, что многие люди, видимо, верят в «закон малых чисел», утверждающий, что малая выборка хорошо характеризует все множество.

3. Суждение по точке отсчета. Если при определении вероятностей используется начальная информация как точка отсчета, то она существенно влияет на результат. Так, при оценках вероятностей событий группам людей давали завышенные и заниженные начальные значения и просили их скорректировать. Средние по группам ответы существенно различались.

4. Сверхдоверие. В экспериментах было показано, что люди чрезмерно доверяют своим суждениям, особенно в случаях, когда они выносят суждение о прошлых событиях. Люди переоценивали свои суждения о вероятностях редких явлении природы, о вероятностях изменений курса акций на бирже и т. д. Они были настолько уверены в своих суждениях, что рисковали определенными суммами денег.

5. Стремление к исключению риска. Многочисленные работы показывают, что как в экспериментах, так и в реальных ситуациях люди стремятся исключить альтернативы, связанные с риском. Они соглашаются на средние (и хуже средних) альтернативы, только чтобы не возникли ситуации, где хотя бы при очень малых вероятностях возможны большие потери.

7. Объяснения отклонений от

рационального поведения

Реакция экономистов на результаты психологических исследований была неоднозначной. Приверженцы теории субъективной ожидаемой полезности утверждали, что нерациональность человеческого поведения является кажущейся, так как неправильно сформулирован критерий, который человек стремится оптимизировать. Действительно, если результат выбора известен, то почти всегда можно подобрать критерий, с точки зрения которого этот выбор является оптимальным. Если принять такую точку зрения, то теория субъективной ожидаемой полезности скорее позволяет объяснить выбор, чем предсказать его [8].

Признание нерациональности человеческого поведения привело к поиску его причин. Среди этих причин называют [9]:

1) недостаток информации у ЛПР в процессе выбора;

2) недостаточный опыт ЛПР: он находится в процессе обучения и поэтому меняет свои предпочтения;

3) стремление ЛПР найти решение, оптимальное с точки зрения совокупности критериев (целей), строго упорядоченных по важности, но он не может его найти;

4) различие между объективно требуемым временем для реализации планов и субъективным горизонтом планирования ЛПР.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману