По данным табл. 3 и схемы, показанной на рис. 13.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Пример решения задачи 2.

Строим линии влияния опорных реакций и линии влияния усилий в стержнях второй панели и примыкающей к ней справа стойке. Полученные линии влияния представлены на рис. 11.

Л.в. S_2-3  Левая ветвь. Груз слева. Рассматриваем равновесие правой части.

SМ₁₂ = 0;         S_2-3×h + R_B×6d = 0;

Правая ветвь. Груз справа. Рассматриваем равновесие левой от сечения части фермы.

SМ₁₂ = 0;         S_2-3×h + R_А×2d = 0;

Ставим на этой линии влияния грузы в опасное положение. Условия невыгодного положения следующие:

F_л + F_кр > ;

® F_л < ;

35 + 95 = 130 >

® 35 < Условия выполняются.

Рис. 9. Расчетные схемы к задаче 2.

Рис. 10. Расчетные схемы к задаче 2.

Найдем усилие в этом стержне, используя выражение

S_i = SF_i×у_i;

S_2-3 = – (35×0,9 + 95×1,5 + 30×1,3 + 70×1,1 + 30×0,7 +

+ 70×0,5 + 30×0,1) = – 349 кН.

Л.в. S_2-12

 Левая ветвь. Груз слева.

SF_у = 0;            S_2-12×sin a – R_B = 0;       

           a = 45⁰;

sin a = 0,71;    S_2-12 = – 1,41 R_B.

Правая ветвь. Груз справа.

SF_у = 0;            – S_2-12×sin a + R_А = 0;

Ставим грузы по участкам линии влияния в опасное положение.

35 + 95 = 130 >

® 35 <

S_2-12 = 35×0,07 + 95×1,06 + 30×0,92 + 70×0,78 + 30×0,49 +

+ 70×0,35 + 30×0,07 = 226,65 кН.

Л.в. S_А-12

Левая ветвь. Груз слева.

SМ₂ = 0;          S_А-12×h – 7d×R_B = 0;

Правая ветвь. Груз справа.

SM₂ = 0;          S_A-12×h – R_А×d = 0;

Рис. 11. Расчетная схема фермы, линии влияния усилий в стержнях.

Ставим грузы по этой линии влияния в опасное положение.

35 + 95 = 130 >

® 35 < 53,75 кН.

S_А-12 = 35×0,175 + 95×0,875 + 30×0,775 + 70×0,675 + 30×0,475 +

+ 70×0,375 + 30×0,175 + 70×0,075 = 210,75 кН.

Л.в. S_3-12

Вырезаем узел 3.

y

S_3-12 = – 1                                                 S_3-12 = 0

Ставим грузы по этой линии влияния в опасное положение.

35 + 95 = 130 >

® 35 < 80 кН.

S_3-12 = – (95×1 + 35×0,2 + 30×0,2) = – 108 кН.

Наибольшее усилие в стержне верхнего пояса. Сохраняем положение грузов для получения этого усилия и разносим грузы по узлам верхнего пояса фермы.

Определяем опорные реакции:

SM_А = 0;   28×d + 108×2d + 52×3d + 42×4d + 24×5d + 76×6d +

+ 12×7d + 18×8d – R_B×8d = 0;

SM_В = 0;    12×d + 76×2d + 24×3d + 42×4d + 52×5d + 108×6d +

+ 28×7d – R_А×8d = 0;

Для фермы с полученными узловыми нагрузками строим диаграмму Максвелла-Кремоны и находим усилия во всех стержнях фермы (рис. 12).

Рис. 12. Расчетная схема фермы, диаграмма Максвелла-Кремоны.

Задача 3. Методом сил рассчитать двухшарнирную статически неопределимую арку,очерченную по уравнению квадратичной параболы

,

Последовательность решения задачи:

1. установить степень статической неопределимости двухшарнирной арки и выбрать основную систему метода сил;

2. составить расчетные канонические уравнения метода сил, определить коэффициенты и свободные члены полученных уравнений;

3. определить лишние неизвестные;

4. определить опорные реакции, изгибающий момент, продольную и поперечную силы в заданном сечении n-n.

Указания к решению задачи:

1. сплошная двухшарнирная арка описана по уравнению квадратичной параболы

где ℓ – пролёт арки, м;

f – стрела подъема арки, равная 0,2ℓ, м;

х – абсцисса сечения, отсчитываемая от левой опоры, м.

2. Согласно заданной расчетной схеме (рис. 13), нагрузка приложена к арке на расстоянии сℓ, отсчитываемом от правой опоры;

3. Жесткость арки принять постоянной, т.е. EI = const;

4. Для арки со стрелой подъема f = 0,2ℓ при вычислении перемещений можно пренебречь влиянием продольной силы, а бесконечно малый элемент ds принять равным его проекции на ось х, т.е. ds = dx;

5. Так как продольная ось арки плавная кривая, то коэффициенты и свободные члены канонических уравнений метода сил следует определять методом непосредственного интегрирования с помощью интеграла О. Мора.

Т а б л и ц а  3. Исходные данные к задаче 3

Номер строки

Пролет ℓ, м

F, кН

с

m

0,4

0,2

0,3

0,8

0,8

0,3

0,4

0,6

0,6

0,2

0,3

0,4

0,4

0,7

0,2

0,6

0,6

0,4

0,3

0,3

***

б

а

б

в

Рис. 13. Расчетная схема арки к задаче 3.

Пример решения задачи 3.

Рис. 14. Расчетная схема заданной арки.

Определяем степень статической неопределимости арки (рис. 14)

N = R – S – H = 4 – 3 – 0 = 1.

Выбираем для заданной расчетной схемы арки основную систему метода сил (рис. 15).

Рис. 15. Основная система для арки.

Каноническое уравнение метода сил имеет следующий вид:

х₁ d₁₁ + D_1F = 0.

Единичное и грузовое перемещения находим методом непосредственного интегрирования с помощью интеграла Мора (рис. 16,17):

Рис. 16. Единичная расчетная схема арки.

Рис. 17. Грузовая расчетная схема арки.

М₁₁ = R_A×x₁ = 0,4F·x₁;                  0 £ х₁ £ 0,6l;

М₂₂ = R_B×x₂ = 0,6F·x₂;                   0 £ х₂ £ 0,4l;

Определяем лишнее неизвестное:

x₁ = 0,93×150 = 139,5 кН.

Находим значения М, Q, N в заданном сечении n-n (рис. 18).

Рис. 18. расчетная схема арки для определения М_n, Q_n, N_n.

М_n = R_B×x_n – x₁×у_n;        

М_n = 90×8 – 139,5×3,84 = 184,3 кНм.

Q_n = Q₀×cos a + H×sin a;               Q₀ = – R_B;        Н = 139,5 кН.

N_n = – (Q₀×sin a + Н×cos a).

Определим угол наклона касательной в заданном сечении n-n арки к горизонту:

 a = 9,09⁰; sin a = 0,158; cos a = 0,987.

Так как по условию задачи точка приложения сосредоточенной силы F на арке совпадает с положением заданного сечения n-n, то внутренние силовые факторы Q и N необходимо определить по обе стороны от заданного сечения. Из теории построения эпюр внутренних силовых факторов методом сечений известно, что в точке приложения внешнего сосредоточенного силового фактора на расчетной схеме на соответствующей эпюре должен быть скачок.

Поперечная сила чуть-чуть справа от сечения n-n

Q_n^прав = – 90×0,987 + 139,5×0,158 = – 66,8 кН.

Поперечная сила чуть-чуть слева от сечения n-n

Q_n^лев = (– 90 + 150)×0,987 + 139,5×0,158 = 81,3 кН.

Продольная сила чуть-чуть справа от сечения n-n

N_n^прав = – (90×0,158 + 139,5×0,987) = – 151,9 кН.

Продольная сила чуть-чуть слева от сечения n-n

N_n = – (60×0,158 + 139,5×0,987) = – 147,2 кН.

Задача 4. Рассчитать статически неопределимую раму методом сил по данным табл. 4 и схемы, показанной на рис. 19.

Последовательность решения задачи:

1. установить степень статической неопределимости и выбрать основную систему;

2. построить единичные эпюры от лишних неизвестных, равных единице, суммарную единичную и грузовую эпюры моментов;

3. составить расчетные (канонические) уравнения метода сил, определить все входящие в них коэффициенты и свободные члены и сделать проверки правильности их нахождения;

4. решить расчетные уравнения;

5. построить расчетные эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;

6. выполнить статическую и кинематическую проверки расчетных эпюр.

Жесткость всех элементов рамы постоянна (EI = const).

Рис. 19. Расчетные схемы к задаче 4.

Т а б л и ц а 4. Исходные данные к задаче 4

Номер

строки

а, м

b, м

h, м

F, кН

q, кН/м

Номер

расчетной схемы

***

а

б

в

а

в

Пример решения задачи 4.

Степень статической неопределимости рамы (рис. 20)

N = R – S – H = 5 – 3 – 0 = 2.

Отбрасываем две “лишние” связи, получаем основную систему.

Составляем канонические уравнения метода сил:

х₁ d₁₁ + х₂ d₁₂ + D_1F = 0;

х₁ d₂₁ + х₂ d₂₂ + D_2F = 0.

Определяем грузовые и единичные перемещения способом перемножения эпюр по Верещагину:

Рис. 20. Расчетная схема рамы, основная система, единичные и грузовая эпюры.

Решаем систему уравнений:

х₁ =51,14 кН; х₂ = –21,5 кН.

Проверяем правильность нахождения лишних неизвестных, т.е. выполняем кинематическую проверку. Умножаем эпюру  на х₁, а эпюру  на х₂ (рис. 21).

Рис. 21. Исправленные единичные эпюры.

Определяем перемещения по направлению х₁ и х₂:

D₁ = 0;        D₂ = 0.

D₁ = х₁× + х₂× +D_1F = 0;

D₂ = х₁× + х₂× +D_2F = 0;

Строим эпюры М, Q, N методом сечений (рис. 22).

Сечение 1-1;   0 £ х₁ £ 3 м;

Q_1-1 = х₁ – qx₁;               Q _х1=0 = х₁ = 51,14 кН;

Q_х1=3 = 51,14 – 30×3 = – 38,86 кН;

N_1-1 = х₂ = 21,5 кН;

                   М _{x1 = 0} = 0;

х₁ – qx₁ = 0;                  

Сечение 2-2;   0 £ х₂ £ 3 м;

Q_2-2 = х₂ = 21,5 кН;       N_2-2 = х₁ – qh = 51,14 – 30×3 = – 38,86 кН;

           М _х2=0 = 18,42 кНм.

Сечение 3-3;   0 £ х₃ £ 3 м;

Q_3-3 = – х₁ + qh = 38,86 кН;        N_3-3 = – х₂ = – 21,5 кН;

Рис. 22. Расчетная схема рамы, эпюры М, Q, N.

М _х3=0 = – 45,08 кНм;            М _х3=3 = 70,5 кНм.

Выполняем статическую проверку правильности построения расчетных эпюр (рис. 23).

Рис. 23. Расчетные схемы узлов рамы.

Задача 5.Рассчитать статически неопределимую раму методом перемещений по данным табл. 5 и схемы, показанной на рис. 24.

Последовательность решения задачи:

1. выбрать основную систему и построить единичные и грузовую эпюры моментов;

2. составить канонические уравнения и определить коэффициенты и свободные члены, решить уравнения;

3. построить расчетные эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;

4. выполнить кинематическую проверку правильности построения расчетных эпюр. Жесткость элементов рамы EI = const.

Т а б л и ц а 5. Исходные данные к задаче 5

Номер

строки

а, м

b, м

q, кН/м

F, кН

h, м

Номер расчетной схемы

***

а

б

в

а

б

в

Рис. 24. Расчетные схемы рам к задаче 5.

Пример решения задачи 5.

Степень статической неопределимости рамы (рис. 25) по методу перемещений зависит от числа возможных угловых и линейных смещений:

n = 1_уг + 1_л = 2.

Рис. 25. Расчетная схема заданной рамы.

Выбираем основную систему, вводя дополнительные связи в места возможных смещений (рис. 26). Принимаем условие – реактивные усилия во введенных связях равны нулю.

Канонические уравнения метода перемещений имеют следующий вид:

Строим единичные ,  и грузовую М_F эпюры моментов с помощью специально разработанных таблиц, которые приведены во всех источниках основной литературы (см. рис. 26).

Рис. 26. Основная система, единичные и грузовая эпюры.

Коэффициенты и свободные члены уравнений находим статическим способом, вырезая соответствующие узлы рамы.

r₁₁ – 3EI – 0,75EI – 1,5EI = 0;

r₁₁ = 5,25EI.

R_1F – 15 = 0;

R_1F = 15.

Sx = 0;              

Sx = 0;         

Решаем систему уравнений:

Умножаем эпюру  на j₁, эпюру  на D₂ и получаем так называемые исправленные эпюры (рис. 27).

Рис. 27. Исправленные единичные эпюры.

Расчетную эпюру М_расч строим способом сложения, используя выражение

М_расч = j₁ + D₂ + М_F.

Имея правильно построенную эпюру М_расч, можно, рассматривая статическое равновесие всех участков рамы как отдельно взятых статически неопределимых балок, определить продольные и поперечные силы и построить эпюры N и Q (рис. 28).

Задача 6.Рассчитать подпорную стену по данным табл. 6 и схемы, показанной на рис. 29, 30.

Последовательность решения задачи:

1. графическим методом определить активное давление грунта на участки напорной грани стены и участок подпорной грани;

2. построить эпюры интенсивности давления грунта на участки напорной грани стены и участок подпорной грани;

3. определить все силы, действующие на стену, точки их приложения и направления;

Рис. 28. Расчетные эпюры М, Q, N.

4. построить многоугольник давления сил в стене, определить графически эксцентриситеты в характерном сечении согласно излому профиля стены и в подошве основания подпорной стенки;

5. проверить устойчивость стены на опрокидывание и сдвиг. Коэффициент трения кладки по грунту в плоскости подошвы фундамента принять равным f = 0,45;

6. определить нормальные напряжения сжатия в плоскости подошвы фундамента стены и построить эпюру напряжений.

Рис. 29. Расчетные схемы к задаче 6.

Рис. 30. Расчетные схемы к задаче 6.

Т а б л и ц а 6. Исходные данные к задаче 6

Номер строки

H, м

Угол

α

γ_кладки,

кН/м³

γ_грунта,

кН/м³

Угол

φ

Угол

φ₀

q,

кН/м²

Номер профиля

12º

26º

16º

14º

28º

7º

9º

30º

11º

13º

33º

10º

10º

31º

12º

7º

29º

15º

8º

27º

14º

10º

35º

12º

9º

34º

9º

8º

32º

6º

***

а

б

в

а

б

в

а

в

Пример решения задачи 6.

Согласно исходным данным высота Н = 6,0 м. Характеристики: грунта: – угол наклона  дневной поверхности грунта за напорной гранью к горизонту a = 14⁰; объемный вес грунта g_гр = 15 кН/м³; угол естественного откоса j = 33⁰; угол трения грунта по поверхности напорной грани стены j₀ = 14⁰. И кладки – объемный вес материала стены g_кл = 24 кН/м³.

Рис. 31. Расчетная схема подпорной стены.

Начинаем с определения сил активного давления грунта, действующих на напорную грань стены высотой Н_нап = 6,6 м и подпорную грань высотой Н_подп = 2,4 м. (рис. 31). Прежде всего заменяем равномерно распределенную пригрузку q_пр эквивалентным слоем грунта:

Получаем фиктивную высоту подпорной стенки Н_фик

Н_фик = Н_нап + h₀ = 6,6 + 1,33 = 7,93 м.

Последовательно выполняем построения Понселе для двух фиктивных участков напорной грани стены и действительного участка задней грани, графически определяем площади S трех треугольников Ребхана и вычисляем силы активного давления грунта на фиктивные и действительный участки по второй теореме Ребхана:

Построим эпюры интенсивности активного давления грунта на фиктивные участки напорной грани стены и участок задней грани, для чего определим нижние ординаты этих эпюр по формуле

где Н – высота рассматриваемого участка грани стены.

Для определения величин сил активного давления грунта на реальные участки граней стены используем заштрихованные площади эпюр интенсивности давления (рис. 32).

Точки приложения сил активного давления грунта найдем графическим способом, определив центры тяжести заштрихованных участков эпюр интенсивности давления грунта.

Определяем собственный вес двух участков стены и грунта на уступе напорной грани стены:

G₁ = 0,3Н×0,5Н×g_кл = 1,8×3×24 = 129,6 кН/на 1 п. м;

G_гр = 0,4Н×0,5Н×g_гр = 2,4×3×24 = 108,0 кН/ на 1 п. м.

         d = 18⁰;            d + j₀ = 18⁰ + 14⁰ = 32⁰.

Аналитически или графически находим точки приложения собственного веса стены (см. рис. 32).

Строим силовой многоугольник (т.е. геометрически складываем все силы, действующие на подпорную стену) и многоугольник давления в стене (представляет собой геометрическое место точек приложения равнодействующих всех сил, действующих на стену выше рассматриваемого сечения). Графически, используя многоугольник давления, находим эксцентриситет в плоскости подошвы фундамента подпорной стены: е = 0,4 м.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте