Тема: Понятие производной функции

Тема: Понятие производной функции

Цели урока:

Обучающая:формирование навыков решения задач на применение определения производной.

 Развивающая: развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию; интерес к предмету; творческие способности учащихся.

Воспитывающая: воспитывать взаимопомощь у учащихся через работу в группах; уважение к мнению других.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто

2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго

3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.

4. Производная переменной в степени -1

5. Производная квадратного корня

6. Производная синуса

7. Производная косинуса

8. Производная тангенса

9. Производная котангенса

10. Производная арксинуса

11. Производная арккосинуса

12. Производная арктангенса

13. Производная арккотангенса

14. Производная натурального логарифма

15. Производная логарифмической функции

16. Производная экспоненты

17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности

2. Производная произведения

2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель

3. Производная частного

4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2.Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3.Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Пример 1. Найти производную функции

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Пример 3. Найти производную функции

.

Пример 4. Найти производную функции

Пример 5. Найти производную функции

Пример 6. Найти производную функции

Пример 7. Найти производную функции

.

Пример 8. Найти производную функции

.

Пример 9. Найти производную функции

, где a и b - константы.

Пример 10. Найти производную функции

.

Пример 11. Найти производную функции

.

Пример 12. Найти производную функции

.

Пример 13. Найти производную функции

Пример 14. Найти производную функции

Пример 15.Найти производную функции

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?