Канонический вид квадратичной формы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

§ вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

§ пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

§ вырожденная парабола — при условии D = 0:

§ пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

§ одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

§ пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

14) Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .

Примеры

§ Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.

§ Пространство всех функций с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности X.

§ поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

§ Любое поле является одномерным пространством над собой

Вектор в линейной алгебре — элемент векторного пространства (частный случай тензора).

ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ — вектор, представленный в виде x = α_ia_i +... + α_na_n, где коэффициенты α_i — произвольные числа; a_i — рассматриваемые векторы (i = 1, ..., n). Если сумма коэффициентов равна единице и 0 < α_i < 1, имеем выпуклую Л. к. в.

15)В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множествоназывается линейно независимым.

Свойства

§ линейно зависимо

§ M линейно независимо M' линейно независимо для всех

§ M линейно зависимо M' линейно зависимо для всех

16) Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виделинейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Примеры

§ Векторы пространства образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: .

§ В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: .

§ Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

§

РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА [dimensionality of vector-space] — максимальное число линейно-независимых векторов в векторном (линейном) пространстве (см. Линейная зависимость векторов). Если это число конечно, то пространство называется конечномерным (многомерным). В противном случае — бесконечномерным.Пример конечномерного векторного пространства — множество возможных планов цеха из ст. “Вектор”. Размерность этого пространства равна 4. Точки на прямой действительных чисел образуют одномерное пространство.

17) Ма́трицей перехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .

Обозначается

Свойства

§ Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.

§

18) Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

19) Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов размера называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

§ — решения системы (1);

§ линейно независимы;

§

20) Лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Примеры линейных однородных операторов:

§ оператор дифференцирования: ;

§ оператор интегрирования: ;

§ оператор умножения на определённую функцию φ(t):y(t) = φ(t)x(t);

§ оператор интегрирования с заданным «весом»

§ оператор взятия значения функции f в конкретной точке x₀: L{f} = f(x₀)^[4];

§ оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax;

§ оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

§ Любое аффинное преобразование;

§ ;

§ ;

§ y(t) = φ₁(t)x(t) + φ₂(t);

где φ(t), φ₁(t), φ₂(t) — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.

21) Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

22) Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

тогда

c(A) = A² − (a₁₁ + a₂₂)A + (a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁)E =

§ Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.

§ Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

23)ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется n стран S₁ , S₂ , ... , S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно x₁ , x₂ , ... , x_n. Обозначимкоэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

a_1j + a_2j + ... + a_nj = 1 (j = 1,2,...,n).

Рассмотрим матрицу

||

a₁₁

a₁₂

...

a_1n

||

||

a₂₁

a₂₂

...

a_2n

||

A

=

||

...

...

...

...

||

,

||

a_n1

a_n2

...

a_nn

||

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны S_i (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:

pi = ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

p_i > = x_i (i = 1,2,...,n).

24) Скалярным произведением в векторном пространстве над полем называется функция для элементов , принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

2. для любых и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

3. для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Заметим, что из п.2 определения следует, что действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

Примеры

§ В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов введение скалярного произведения по формуле превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства).

§ В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать^[1] ортонормированный базис

при разложении векторов по которому:

,

итд,

скалярное произведение будет выражаться приведенной выше формулой:

.

25)Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и .

Очевидно, из определения скалярного произведения:

.

2. Для любого числа λ и любых векторов имеем:

.

Для любых векторов выполняется равенство .

1. Для любого вектора выполняется соотношение .

Действительно, так как , то .

Из этого свойства в частности следует .

2. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

26) Ортонормированная система

Для любых элементов этой системы φ_i,φ_j скалярное произведение (φ_i,φ_j) = δ_ij, где δ_ij — символ Кронекера.

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .

Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V.

Наиболее известным является процесс Грама ― Шмидта, при котором по линейно независимой системе строится ортогональная система такая, что каждый вектор b_i линейно выражается через , то есть матрица перехода от {a_i} к {b_i} ― верхнетреугольная матрица.

27) Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

28) Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

Описание

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов a_ii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где

, а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что

Второй случай заменой переменных сводится к первому.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте