Типичная смысловая нагрузка: «сколькими способами можно выбрать k объектов из N. »

Лекция

Сочетания

Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Это задача насочетания.

Решение:Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

123 124 125 134 135 145

   234 235 245

           345

Ответ: 10.

Определение:Сочетанием из n элементов по k (k<n)  называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).

Формула:

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов из n?»

Пример 1.В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение:

Ответ: 21.

Пример 2.На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?

Решение:

Ответ: 792.

Пример 3.В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение:

Ответ: 1365.

Пример 4.Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Решение:

Ответ:7140.

Пример 5.Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Решение:Т.к. двое мальчиков войдут в команду, то остается отобрать 3 из 8. Для выборки важен только состав (по условию все члены команды не различаются по ролям).

Ответ: 56.

Пример 6. Вшахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Решение:В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен.

Ответ: 105.

Пример 7.Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Решение:Различных дробей из 6 чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17 можно составить

штук (  способами выбираем два числа из 6, и двумя способами составляем из них дробь, сначала одно число – числитель, другое – знаменатель и наоборот).

Из этих 30 дробей 15 будут правильные.

Ответ: 30; 15.

Пример 8.Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение:

– способами можно извлечь 3 карты из колоды. Теперь рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей , 7 червей. Эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей P₃=3!=6способами. Тогда способами можно сдать по одной карте 3-м игрокам.

Ответ:42840.

Получили формулу: .

Практическая часть

Решаем номера: 9.57 – 9.61,

Решаем номера: 1.63, 1.65 – 1.69,

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии