Число рёбер, примыкающих к вершине

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

г. Керчи РК «Специализированная школа №19 с углубленным

изучением английского языка»

Учебный проект по геометрии на тему “Великолепная пятёрка - Платоновы тела и их свойства”

                                                Выполнил: обучающийся 9-А класса

                                                                  Вячеслав Стеблина

                                                                       Руководитель:

                                                                       Сергеева Н. С.

г. Керчь 2020

Основные цели и задачи работы

Цель работы:

Изучить многогранники и научиться делать их модели

Задачи работы:

- Найти и изучить в научно-популярной литературе и в Интернете информацию о многогранниках;

- Изготовить 3-5 моделей многогранников разными способами

- Познакомить одноклассников со своими работами

Основной вопрос:

 Такое могли сотворить только боги?

Проблемные вопросы:

1. Почему правильных многогранников только пять?

2. Как сделать многогранник плоским?

Содержание

Определение многогранников                                              стр. 4-6

Симметрии                                                                           стр. 7-8

История                                                                                стр. 9

Комбинаторные свойства                                                  стр. 10

Геометрические свойства                                                  стр. 11

Развёртки фигур                                                                  стр. 12

Источники информации и ссылки                                      стр. 13

Ответы на вопросы                                                            стр. 14

Определение многогранников

Многогранники - это простейшие тела в пространстве, как, например, многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. Если рассматривать многогранник с точки зрения геометрии, то это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника.

Многогранник называется правильным, если:

· он выпуклый;

· все его грани являются равными правильными многоугольниками;

· в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Доказано, что таких многогранников существует только пять:

Тетраэдр:                                                             Октаэдр:

Гексаэдр (Куб):                                                     Додекаэдр:                                                            

Икосаэдр:

Интересный факт:

Название каждого многогранника происходит от греческого наименования количества его граней и слова «грань». В переводе с греческого «эдра» - означает грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «додека» - 12, «икоса» - 20. Поэтому запомнить названия всех этих геометрических фигур очень просто.

Характеристики правильных многогранников:

Правильный многогранник

Число вершин

Число рёбер

Число граней

Число сторон у грани

Додекаэдр

Икосаэдр

Гексаэдр

Октаэдр

Тетраэдр

Симметрии

Правильные многогранники обладают большим числом симметрий. Под симметрией многогранника надо понимать его движение в пространстве, которое оставляет неизменным множество вершин, рёбер и граней многогранника. Есть одна симметрия, свойственная всем многогранникам -тождественное преобразование. Оно оставляет любую точку в исходном положении.

· Тетраэдр:

У правильного тетраэдра нет центра симметрии.

Осью симметрии правильного тетраэдра является прямая, проходящая через середину двух противоположных ребер. То есть правильный тетраэдр имеет 3 оси симметрии.

Плоскостью симметрии правильного тетраэдра будет плоскость, проходящая через ребро, перпендикулярно к противоположному ребру. То есть правильный тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии.

· Гексаэдр (Куб)

Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей.

Осями симметрии будут прямые, которые проходят через центры противоположных граней или середины противоположных ребер. Поскольку грани гексаэдра – квадраты, значит, оси симметрии будут проходить через точки пересечения диагоналей противоположных граней. То есть у куба 9 осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии.

Проводя через каждые две оси симметрии плоскость, мы получим плоскость симметрии куба. То есть у куба 9 плоскостей симметрии.

· Октаэдр:

Осями симметрии правильного октаэдра будут прямые, которые проходят через противоположные вершины октаэдра и прямые, которые проходят через середины противоположных ребер. То есть у октаэдра 9 осей симметрии.

Точка пересечения осей симметрии октаэдра будет центром симметрии.

Плоскостями симметрии октаэдра будут плоскости, которые проходят через каждые четыре вершины октаэдра. Таких плоскостей 3. И плоскости, которые проходят через две вершины, не лежащие в одной грани, и середины противоположных ребер. Таких плоскостей 6. То есть у правильного октаэдра 9 плоскостей симметрии.

· Додекаэдр:

Осями симметрии додекаэдра будут прямые, проходящие через середины противоположных параллельных ребер. Их 15. То есть у правильного додекаэдра 15 осей симметрии.

Центром симметрии правильного додекаэдра будет точка пересечения всех осей симметрии.

Плоскости, проходящие в каждой грани через вершину и середину противолежащего ребра, будут плоскостями симметрии.

Таких плоскостей 15. То есть у правильного додекаэдра 15 плоскостей симметрии.

· Икосаэдр:

Осями симметрии правильного икосаэдра являются прямые, которые проходят через середины противолежащих параллельных ребер. Таких прямых пятнадцать. То есть у правильного икосаэдра пятнадцать осей симметрии.

Центром симметрии правильного икосаэдра является точка пересечения всех осей симметрии.

Плоскости симметрии правильного икосаэдра проходят через четыре вершины, которые лежат в одной плоскости, и середины противоположных ребер. Таких плоскостей пятнадцать. То есть у правильного икосаэдра пятнадцать плоскостей симметрии.

История

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «Платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубы составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Комбинаторные свойства

· Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

В + Г = Р + 2.

· Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

· Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:

p — число рёбер в каждой грани;

q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

· Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

·

Многогранник

Вершины

Рёбра

Грани

Символ Шлефли

тетраэдр

{3, 3}

гексаэдр (куб)

{4, 3}

октаэдр

{3, 4}

додекаэдр

{5, 3}

икосаэдр

{3, 5}

Геометрические свойства

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

· Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;

· Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;

· Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной (R) и вписанной (r) сфер задаются формулами:

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника.

Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h — величина, описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Развёртки фигур

Тетраэдр:                                                            Октаэдр:

Гексаэдр (Куб):                                                                      Додекаэдр:

Икосаэдр:

Источники информации и ссылки

http://polyhedron2008.narod.ru/pages/polyhedr.htm

https://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/mnogogranniki-11037/pravilnye-mnogogranniki-12127/re-f71e1524-15b1-4b53-aa15-f43d3e379fd1

https://www.calc.ru/Ponyatiye-O-Pravilnykh-Mnogogrannikakh.html

http://www.math24.ru/правильные-многогранники.html

http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo21.htm

https://graph.power.nstu.ru/wolchin/umm/Graphbook/book/001/027.htm

https://www.etudes.ru/ru/etudes/platonic-solids-harmony/

http://osiktakan.ru/gm04.html

https://urok.1sept.ru/статьи/572090/

https://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_многогранник#Радиусы,_площади_и_объёмы

https://ru.wikipedia.org/wiki/Многогранник

Ответы на вопросы

1. Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое. Рассмотрим развертку вершины такого многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням.

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*72°=216 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология