Расчётно-графическая работа по математике №3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

 «Ярославский государственный технический университет»

Кафедра «Высшей математики»

Задание защищено

с оценкой (         )

Преподаватель

доцент, к. физ-мат. н.

Бородин А.В. (         ) 

31.05.2020 г.

Расчётно-графическая работа по математике №3

ЯГТУ 27.03.04-010 РГР

Задание выполнила

студентка гр. МА-13

(      ) Е.А. Зверева

31.05.2020 г.

Вариант 10

I.

;

;

а) Найти касательную к поверхности уровня функции , проходящую через точку .

б) Найти производную от  в точке  по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Оz.

Решение а).

Для функции = уравнение поверхности уровня (высоты ), проходящей через точку , имеет вид , где

=

Обозначим эту поверхность через .

Известно, что вектор-градиент      ( в точке , ортогонален к , а значит и к касательной плоскости   этой поверхности, т. е.

.

Поэтому уравнение искомой касательной плоскости имеет вид

, где

,

,

.

Отсюда при , получаем

, , ,

и соответственно искомое уравнение касательной плоскости таково

.

II.

Показать, что функция

(1)

удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению в частных производных

(2)

Решение.

Найдём все участвующие в левой части уравнении (2) частные производные функции (1):

 , (3)

 (4).

Подставляя полученные выражения (3), (4) в левую часть уравнения (2), получим

, что и требовалось показать.

III.

а) Найти первый и второй  дифференциалы функции

                                            (1)

в точке .

б) Записать формулу Тейлора второго порядка для функции  в окрестности точки .

в) Используя полученную формулу Тейлора вычислить приближённое значение функции в точке .

Решение а).

Найдём сначала частные производные 1-го и 2-го порядков функции (1):

,

,

,

,

.

Тогда дифференциалы 1-го и 2-гопорядков для функции (1) в заданной точке  определяются формулами:

,

,

где ,  – приращения аргументов в точке . В частности в точке  эти дифференциалы имеют вид

,

, (2)

где , .– приращения аргументов и y в точке . Задача а) решена.

Решение б).

Формула Тейлора 2-го порядка для функции  в окрестности точки   (в форме Пеано) имеет вид

.

В частности, для функции (1) в точке  в силу (2) она имеет вид

(3)

IV.

Найти частную   и полную  производные функции

;                                            (1)

причём полную производную при условии

, .                                                  (2)

Решение.

Чтобы найти частную производную  надо воспринимать функцию (1) как функцию трёх переменных  одна из которых . Поэтому

                               (3)

Чтобы найти полную производную функции (1) при условии (2) необходимо воспринимать функцию (1) как сложную функцию 1-й переменной , а именно, , где функции  – это функции (2). Тогда полная производная  определяется по правилу дифференцирования сложной функции, т.е. по цепному правилу,

,                         (4)

где , ,   – частные производные функции (1); ,  – обычные производные функций (2) одной переменной t. Найдём их.

,

,                      (5)

 (см. (4));

,  .                      (6)

Подставим   (2), (5), (6) в формулу (4) и получим искомую полную производную :

V.

а) Убедится, что уравнение

                                  (1)

в окрестности точки

                                                            (2)

неявно задаёт функцию двух переменных

                                                              (3)

б) Найти дифференциал 1-го порядка функции (3) в точке

.                                                        (4)

Решение.

а) Нетрудно проверить, что точка (2) – решение уравнения (1) и значит

.

Поэтому, согласно теореме о неявной функции, для существования неявной функции (3) в окрестности точки (4) достаточно выполнения условия

  (5)

Для точки (2) имеем

,                                   (6)

т. е. условие (5) выполняется и искомая неявная функция (3) существует:

.                                                       (7)

Здесь следует заметить, что в общем случае мы знаем лишь о существовании функции (3),но не знаем её «формулы». Тем не менее, мы можем посчитать её частные производные в точке (4), а именно, из уравнения (7) вытекает, что

 ,    ,              (8)

где знаменатель  посчитан в формуле (6), а числители определяются по следующим формулам:

,

.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США