Организация подготовительной работы.

4. Какие методические приемы может использовать учитель для формирования у младших школьников умения решать задачи на нахождение 4-го пропорционального? Опишите подробно организацию деятельности учащихся в процессе решения таких задач.

По мнению Н.Б.Истоминой: «Одна из причин возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач заключается в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального усвоения» [6].

Методисты М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, подробно раскрывая методику работы с задачами с пропорциональной зависимостью утверждают то, что «связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождение одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задачи на нахождение стоимости по известным цене и количеству)» [2]. Составим такие задачи в соответствии с теми процессами и характеризующими их величинами, которые мы изложили в предыдущем параграфе исследования:

1) Ручка стоит 8 рублей. Дима купил 3 такие ручки. Сколько денег заплатил Дима за покупку?

2) Вася купил 2 пирожка с мясом, заплатив за них 18 рублей. Какова цена пирожка?

3) Таня купила блокноты, заплатив 24 рубля. Сколько блокнотов купила Таня, если цена каждого - 6 рублей?

При решении подобных простых задач с пропорциональными величинами целесообразно использовать такие методические приемы обучения решению текстовых задач, которые способствуют формированию у учащихся представлений о пропорциональной зависимости величин. Некоторые из них мы уже указывали в первом параграфе исследования.

В числе приемов, которые советуют применять математики Л.Н.Скаткин, Т.К.Жикалкина можно назвать:

- - изменение одного из данных задачи;

- - сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;

- - интерпретация задачи в виде схемы, запись задачи в таблице;

- - анализ текстов задач с недостающими и лишними данными [6].

Например, учащимся можно предложить задачи с недостающими данными, при анализе которых они, пользуясь житейскими представлениями, сами употребляют термин «зависит».

Задача: Маша купила 5 тетрадей в клетку и 2 блокнота. За что она заплатила денег больше, за тетради или за блокноты?

Анализируя текст этой задачи, учащиеся могут обнаружить, что в них не хватает данных, и что ответить на вопрос задачи они не могут. Учащиеся ответят: «Это зависит от того, сколько стоит 1 тетрадь и 1 блокнот» и т. д. Для разъяснения учащимся смысла понятия «зависит», по нашему мнению, необходимо проследить, как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой при постоянной третьей. Для этой цели можно воспользоваться приведенной задачи, дополнив ее условие.

Задача: В палатку привезли 6 ящиков апельсинов. Сколько килограмм апельсинов привезли в палатку?

Учащиеся быстро обнаруживают, что ответить на вопрос задачи нельзя, так как неизвестна масса одного ящика. Выделенные величины полезно зафиксировать в таблице, т.е. задачу мы будем моделировать, интерпретируя ее в виде таблице :

Масса ящика

(кг)

Количество ящиков (ящ.)

Общая масса

(кг)

6

?

Дети могут дополнить условие и решить задачу. Затем надо проследить, как будет изменяться общая масса в зависимости от изменения массы одного ящика при постоянном их количестве или в зависимости от изменения количества ящиков при постоянной массе одного ящика. Для этого также целесообразно использовать таблицу:

Масса одного ящика (кг)

Количество ящиков (ящ.)

Общая масса (кг)

Рассматривая предлагаемую таблицу, стоит обсудить вопросы:

1) Какая величина не изменяется?

2) Какие величины изменяются?

3) Во сколько раз масса шести ящиков больше, чем масса двух ящиков?

4) Во сколько раз масса четырех ящиков меньше, чем масса двенадцати ящиков?

Аналогичные наблюдения следует провести при условии изменения количества ящиков, но при постоянной массе одного.

Затем полезно рассмотреть обратную ситуацию, предложив школьникам такую задачу:

24 кг помидоров разложили в 2 ящика, в 4 ящика, в 6 ящиков, в 3 ящика, в 8 ящиков. Сколько килограммов помидоров в одном ящике?

Масса одного ящика (кг)

Количество ящиков (ящ.)

Общая масса (кг)

?

?

?

?

?

При анализе данной таблицы выясняется:

1) Какая величина не изменяется?

2) Какие величины изменяются?

3) Как они изменяются?

Зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе можно смоделировать с помощью схемы. Для этого в тетради ученики могут изобразить 5 отрезков по 24 клетки, каждый из которых они делят на 2, на 4, на 6, на 3, на 8 одинаковых частей.

Анализ схемы позволит детям осознать зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей массе.

Использование перечисленных нами методических приемов (изменение одного из данных, интерпретация задачи в виде таблицы) при решении простых задач подготовит учащихся к решению составных задач с пропорциональными величинами.

Для того чтобы дети не подходили формально к решению этих задач, необходимо варьировать в их сюжетах постоянную величину. Тогда запись задачи в таблице и ее схематическая интерпретация будут восприниматься ребенком с необходимостью, и активизировать его мыслительную деятельность. В противном случае он будет ориентироваться на образец.

Естественно, такой подход к решению задач с пропорциональными величинами пишут С.А.Зайцева и И.Б.Румянцева, возможен в том случае, «если с самого начала знакомства с задачей велась целенаправленная работа по формированию у младших школьников умений анализировать текст задачи, выявлять в нем математические отношения, устанавливать взаимосвязь между данными и искомыми величинами и соотносить текстовую и схематическую модель задачи» [5].

Кроме этого, авторы советуют «при решении задач на нахождение четвертого пропорционального использовать различные способы ее решения.

1. Способ прямого приведения к единице»[5].

Этот способ состоит в том, что сначала узнают значение единицы одной из пропорциональных величин, затем значение указанного в условии количества. К единице приводят величину, для которой даны оба значения. Рассмотрим на примере. учитель обучение учащийся решение

Задача: На 6 одинаковых платьев израсходовали 30 м ткани. Сколько ткани потребуется на изготовление 3 таких платьев?

В этой задаче известны два значения количества и одно значение общего расхода. При решении способом прямого приведения к единице сначала находим расход на 1 платье: (30 : 6) • 3 = 15 (м).

В качестве тренировочных учащиеся выполняют творческие задания на составление задач по выражениям, например 84 : 6 • 10, после того как учитель предложит тему, т. е. укажет, о каких величинах пойдет речь.

2. Способ обратного приведения к единице.

Среди задач на нахождение четвертого пропорционального (на тройное правило) встречаются те, которые наиболее рационально решать способом обратного приведения к единице. С ним также следует познакомить детей. Он сводится к нахождению соответствующего значения единицы той величины, для которой в условии указано лишь одно данное (одно значение). Она выявляется при записи в виде таблицы.

Сопоставим два способа решения одной и той же задачи.

Производительность

Время работы

Объем работы

Одинаковая

6 ч

?

60 пл.

80 пл.

Из таблицы видно, что дано одно значение времени, и два числа, обозначающих объем работы, т.е. сшитых детских платьев.

Решая способом обратного приведения к единице нужно узнать, сколько за один час можно сшить таких платьев.

Сравним два способа решения.

Способ прямого приведения к единице

Способ обратного приведения к единице

1) За какое время мастер сошьет одно детское платье.

6 ч = 360 мин

360 : 60 = 6 (мин)

2) 6 • 80 = 480 (мин)

480 мин = 8 ч.

1) 60 : 6 = 10 (пл.) - сошьет мастер за один час.

2) 80 : 10 = 8 (ч) - время, за которое мастер сошьет 80 детских платьев.

Задача: Для засолки 12 кг огурцов разложили в 6 одинаковых банок. Сколько потребуется таких банок, чтобы разложить 24 кг огурцов?

Масса огурцов в 1 банке

Количество банок

Масса огурцов

Одинаковая

12 кг

?

24 кг

Ученики могут пытаться решить эту задачу способом обратного приведения к единице: узнать массу огурцов в 1 банке (12 : 6 = 2 (кг)), а затем определить число банок, которое потребуется, чтобы засолить 24 кг (24 : 2 = 12 (б.))

Анализируя условие задачи, учащиеся убеждаются, что нельзя узнать, сколько требуется банок для засола 1 кг огурцов. Дети, более внимательные, вместе с учителем устанавливают зависимость между величинами: с увеличением массы возрастает и количество необходимых банок. Школьники определяют, сколько раз по 12 содержится в 24 кг, т. е. во сколько раз 24 больше 12, значит и банок получится во столько же раз больше.

Решение: 6 • (24 : 12) = 12 (б.)

Проанализируем способ решения задачи на пропорциональное деление на примере следующей задачи.

Задача: Двум семьям нужно уплатить в месяц за газ 70 рублей. В одной семье 4 человека, а в другой 3 человека. Сколько должна уплатить в месяц каждая семья?

В ходе решения этой задачи требуется 70 рублей представить в виде суммы двух слагаемых пропорционально числу людей каждой семьи. После того как будет вычислено, что всего в двух квартирах проживают 3 + 4 = 7 человек, предстоит ответить на следующие вопросы:

1) 7 человек должны уплатить 70 руб. Сколько должны уплатить 4 человека?

2) 7 человек должны уплатить 70 руб. Сколько должны уплатить 3 человека?

Составлены две задачи на нахождение четвертого пропорционального.

Подвести учащихся к самостоятельному решению задач на пропорциональное деление можно через преобразование задач на нахождение четвертого пропорционального или в результате составления задачи по рисунку:

- Что могут обозначать квадраты? (Ящики.)

- Что обозначает число 70 кг? (Массу продуктов.)

- Составьте задачу.

Дети способны предложить, например, такой вариант: «С одной грядки собрали 4 одинаковых ящика огурцов, а с другой 3 таких же ящика. Всего собрали 70 кг огурцов. Сколько огурцов собрали с каждой грядки?»

Решение задачи можно записать в виде выражений:

70 : (4 + 3) • 4

70 : (4 + 3) • 3

Также можно использовать данные способы и при решении задач на нахождение неизвестного по двум разностям.

При решении задач на пропорциональное деление, в содержание которых входят цена, количество, стоимость, приходится сумму двух значений количества предметов распределять прямо пропорционально двум числам. Если в каждом из рассмотренных случаев заменить сумму двух количеств их разностью, можно получить четыре различных вида задач с пропорциональными величинами. Одним из данных в них будет разность двух значений какой-либо из указанных выше величин. Таким образом, мы получили задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Покажем на конкретном примере взаимосвязь задач на пропорциональное и деление и задач, имеющих в качестве одного из данных разность двух значений определенной пропорциональной величины.

Задача: Купили 7 м шелка и 5 м шерстяной ткани по одинаковой цене. За всю ткань заплатили 360 рублей. Сколько денег заплатили за шелк и за шерстяную ткань отдельно?

В беседе целесообразно выяснить, что в задаче известно, что требуется узнать, и записать ее текст кратко:

7 м шелка ?

360 руб.

5 м шерстяной ткани ?

Можно и предлагать начертить схему.

Решение записывается в виде выражений:

360 : (7 + 5) • 7

360 : (7 + 5) • 5

Ответ: 210 рублей заплатили за 7 м шелка,

150 рублей заплатили за 5 м шерстяной ткани.

Чтобы установить связь между условием задачи и способом решения, обычно проводится анализ решения.

- Что означает число 360? (Сумму стоимости двух различных групп предметов.)

- Что получаем в результате деления суммы стоимости на сумму предметов? (Цену.)

- Цену умножаем на число предметов, что получаем? (Стоимость.)

Используя текст данной задачи, под руководством учителя учащиеся могут составить обратную.

Вместо знаков вопроса ставят полученные ответы, число 360 стирают, получают такую запись:

7 м шелка 210 р.

5 м шерстяной ткани 150 р.

Вначале целесообразно выяснить, почему же за 7 м шелка заплатили больше, чем за 5 м шерстяной ткани, и на сколько больше. Заносят данные в таблицу, преобразуют ее и получают такую:

7м шелка на 60 рублей больше ?

5 м шерстяной ткани ?

По полученной краткой записи дети составляют задачу: «Купили 7 м шелка и 5 м шерстяной ткани по одинаковой цене. За шелк уплатили на 60 рублей больше, чем за шерстяную ткань. Сколько денег уплатили за шелк и шерстяную ткань отдельно?»

Решение записывается в виде выражений:

60 : (7 - 5) • 7

60 : (7 - 5) • 5

Выяснение того, что обозначает каждое число в этих выражениях необходимо для осознанной работы. Далее учащиеся вычисляют их значения и дают ответ на вопрос задачи.

Следовательно, как мы узнали, для наиболее успешной работы над формированием у младших школьников навыка решения задач с пропорциональной зависимостью целесообразно вести систематическую, целенаправленную методическую деятельность при которой важно применять систему методических приемов.

Опишите подробно организацию деятельности учащихся в процессе решения таких задач. Проиллюстрируйте ее на примере решения задач из №4, М3М, ч.1, с. 82.

5. Какие зависимости лежат в основе различных способов решения задач на нахождение 4-го пропорционального? Приведите примеры таких задач, которые можно решить разными способами. Покажите, как подвести учащихся к их отысканию, используя необходимые методические приемы.

После подготовительного этапа на специальном уроке в 3 классе впервые вводят задачи на нахождение четвертого пропорционального. Таких задач может быть 6 видов, в каждом из которых одна величина постоянна (одинаковая), а из 4-х значений двух других величин одно значение из четырех возможных неизвестно (4-е пропорциональное), а остальные 3 известны.

Рассмотрим примеры таких задач. (Задачи про покупку ручек Р и тетрадей Т.)

Цена Количество Стоимость

Р

Т одинаковая 2 шт. 4 шт. ? 4 р.

Р

Т одинаковая 2 шт. ? 2 р. 4 р.

Р

Т 1 р. 2 р. одинаковое ? 10 р.

Р

Т 1 р. ? одинаковое 5 р. 10 р.

Р

Т 1 р. ? 10 шт. 5 шт. одинаковая

Р

Т 1 р. 2 р. ? 5 шт. одинаковая

Такие задачи отражают прямую и обратно пропорциональную зависимость.

цена количество стоимость

2 р. 4 шт. ?

? 4 шт. 8 р.

2 р. ? 8 р.

1-4 вид отражают прямопропорциональную зависимость . Например, чем больше цена (количество), тем больше стоимость при постоянном количестве (цене). Их вводят в 3 классе.

5 – 6 вид задач на обратнопропорциональную зависимость. Например, чем больше цена, тем меньше количество при постоянной стоимости и наоборот. Их вводят в 4 классе.

Представление об этих зависимостях формируется у детей постепенно в процессе решения таких задач.

Их можно решать двумя способами:

1 способ (основной) – через нахождение постоянной величины.

Например ,решим задачу 1го вида из таблицы:

1) 4 : 4 = 1 (р.) цена тетради или ручки.

2) 1 ∙ 2 = 2 (р.) стоимость двух ручек.

При решении задачи этим способом полезно опираться на таблицу, т.к. в ней отображена зависимость между тройкой величин.

2 способ – через нахождение коэффициента пропорциональности.

Здесь опираемся на графическую схему.

?

Р. ׀---------׀---------׀

?

Т. ׀----------׀---------׀----------׀---------׀

4 р

1 ) 4 : 2 = 2 (раза) – во столько раз ручек меньше, чем тетрадей.

Рассуждаем устно: т.к. ручек в 2 раза меньше чем тетрадей, а цена тетради и ручки одинакова, то и стоимость всех ручек будет в два раза меньше, чем стоимость всех тетрадей

2) 4 : 2 = 2 (р.) стоимость ручек.

Этот способ решения возможен, если два данных числа кратны друг другу.

Все задачи на нахождение четвертого пропорционального по программе М.И. Моро вводятся постепенно в 3-4 классах. По мнению авторов, эти задачи нужно вводить друг за другом (с 1 по 6 вид). Работа с каждым видом проводиться в три этапа.

1 этап (1-2- урока) – подготовительная работа – готовим к введению задач этого вида, повторяем зависимости между величинами в тройках и решаем задачи ранее изученных видов.

2 этап (1 урок) – ознакомление с задачами этого вида. Учитель подробно вместе с детьми разбирает, как решают эти задачи. Используя всевозможные виды моделей (реальную, графическую, схематическую и т.д.). В результате дает ученикам образец решения подобных задач. Задачи этого вида могут быть с любой тройкой величин.

3 этап – формирование умения решать задачи данного вида (продолжительный этап). На этом этапе решают множество подобных задач на разных тройках величин, чтобы не сформировать шаблона мышления, рекомендуют включать так же задачи ранее изученных видов.

Анализ учебников по программе М.И. Моро за 3-4 классы показывает, что этот замысел автора реализовался не в полном объеме; задачи 1-2 видов вводятся (М3М ч.1 с.46) таким образом, а методика введения остальных видов задач нарушена, т.к. нет

специальных уроков их введения и недостаточно задач этих видов для формирования умения. Чтобы исправить этот недостаток учебника, учитель должен сам построить тематический план ознакомления с задачами каждого из 6 видов (1 вид = 1-2 недели).

Обучая детей решению таких задач, не забываем о формировании общих умений решать задачи (4 группы умений).

Задачи на пропорциональное деление или на нахождение неизвестного по двум суммам

В 4 классе вводят задачи на нахождение неизвестного по двум суммам или задачи на пропорциональное деление.

Т.к. эти задачи также с тройками величин, то и здесь используется модель задачи – таблица.

В этих задачах одна величина постоянна, два значения другой величины даны, а два значения третей величины неизвестны, но дана их сумма.

Их тоже 6 видов, но в начальных классах изучают только первые четыре вида.

Цена Количество Стоимость

Т.

Р. Одинаковая 2 шт. 4 шт. ? 6 р. ?

Т.

Р. Одинаковая ? 6 ш. ? 2 р. 4 р.

Т.

Р. 1 р. 2р. Одинаковая ? 12 р. ?

Т.

Р. ? 3 р. ? Одинаковая 4 р. 8 р.

Т.

Р. ? 7 р. ? 3 шт. 4 шт. Одинаковая

Т.

Р. 4 р. 3 р. ? 7 шт. ? Одинаковая

При решении этих задач одну сумму значений величин делят на другую:

Например, задача первого вида:

1) 2+4=6 (шт.) общее количество купленных тетрадей и ручек

2) 6:6=1 (р.) цена тетради или ручки.

3) 1 ∙ 2=2 (р.) стоимость тетрадей.

4) 1 ∙ 4=4 (р.) стоимость ручек или 4)6-2=4 (р.) стоимость ручек

Проверять решение таких задач удобно способом подстановки и устанавливать связи между найденным искомым и одним из данных задачи. Например,если задачу решили первым способом, то проверяем – 2+4=6(р.) – получили данное.

Если решали вторым способом, то проверка 4 : 1= 4(шт.) – так же получили данное.

Кроме таблицы в качестве модели может быть использована условно-схематическая модель.

Например, для первого вида: по схеме видно, что 6 рублей заплатили и за ручки и за тетради вместе, т.е. за (2+4) предмета, следовательно выполняем действие 6 : (2+4).

?

Р. ׀---?---׀------׀ 6 р.

Т. ׀-----?--׀------׀-------׀------׀

?

1 – 4 вид задач - это задачи на прямо пропорциональную зависимость, а 5 – 6 вид – на обратно пропорциональную зависимость.

Методика их изучения по программе Моро М.И. такая : каждый вид вводят по очереди в три этапа: подготовка, ознакомление и формирование умения решать такие задачи.

Но анализ учебников показывает, что не все 6 видов есть в учебнике. Есть специальные уроки для введения 1 и 2 видов (М4М ч.1 с.86), можно найти задачи 3 и 4 видов. Хотя их введение специальными уроками в учебнике не предусмотрено. Нет задач 5 и 6 видов, следовательно, учитель сам продумывает тематический план их введения и, если класс сильный, можно рассмотреть все 6 видов, если слабый, то первые 4 вида. Решаем эти задачи с различными тройками величин.

6. Какую подготовительную работу целесообразно провести перед введением типовых задач на пропорциональное деление и нахождение неизвестного по двум разностям? Приведите примеры подобных упражнений и покажите методику работы с ними.

Методика работы с задачами этого типа, такая же, как и с задачами предыдущего типа, т.е. все виды вводят по очереди и отрабатывают на различных тройках величин, но анализ учебников по программе М.И.Моро 4 класс показывает, что эта схема выполняется не полностью. Есть специальные уроки, где вводят задачи 1 и 2 видов (М4М ч.2 с. 46), а введение остальных видов не предусмотрено. Но учитель может предусмотреть это сам. Для сильного класса возможно введение 6 видов, а для слабого достаточно 2 видов.

Подготовкой к решению задач этого типа предлагают задачи-вопросы и простые задачи, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями.

Ознакомление с решением задач.

Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала предлагается задача не в готовом виде, а составляется из задачи на нахождение четвертого пропорционального, затем включают готовые задачи.

Рассмотрим это на конкретном примере.

Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи:

Цена

Количество

Стоимость

Одинаковая

I-6 м

II-4 м

180 руб.

?

После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе,-120 руб.

Учитель предлагает найти разность стоимостей (60 руб.) Выясняется, что показывает это число. Учитель выполняет новую краткую запись, по которой дети составляют задачу:

Цена

Количество

Стоимость

Одинаковая

I-6 м

II-4 м

?на 10 руб. больше

?

На доске и в тетрадях можно выполнить иллюстрацию:

                                                                                                 I

II

Выясняется, почему 1-й покупатель заплатил больше, чем 2-й; за сколько метров 1-й уплатил столько же денег, сколько 2-й; за какую материю он уплатил 10 руб.

На чертеже появляется запись:

I

10 руб.

II

Затем составляется план решения.

Какие приемы может использовать учитель при ознакомлении учащихся с новыми типами задач? Опишите работу с использованием при этом следующих приемов:

· преобразование задачи известного типа в задачу неизвестного нового типа;

· составление задачи нового типа из нескольких знакомых по типу задач;

· деление задачи «нового» типа на несколько задач известных типов и их последовательное решение;

·  предварительное решение задач «нового» типа практическим методом.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология