Разложение вектора по ортам координатных осей

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

Умножение вектора на число

Если задан , то тогда вектор имеет координаты , здесь - некоторое число (рис. 3).

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что заданы две точки и . Тогда координаты вектора находятся по формулам (рис. 4):

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Задание. Найти координаты вектора , если

Решение.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Здесь , и - углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей , и соответственно.

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Длиной (модулем) вектора называется неотрицательное число, равное расстоянию между его началом и концом, то есть длина вектора - это длина отрезка . Длина обозначается . Длина нулевого вектора равна нулю. Длина единичного вектора равна единице.

Если вектор задан своими координатами: , то его длина находится по формуле:

Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Задание. Найти длину

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Пусть заданы два произвольных ненулевых вектора и . Приведем их к общему началу, для этого отложим от некоторой точки векторы и , равные соответственно заданным векторам и (рис. 1).

Углом между векторами и называется угол .

Угол между сонаправленными векторами равен 0°, а между противоположно направленными - 180°.

Два вектора называются перпендикулярными или ортогональными, если угол между ними равен 90°.

Угол между двумя векторами , заданными своими координатами, вычисляется по формуле:

Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами и .

Решение. Косинус искомого угла:

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Если хотя бы один из векторов или равен нулевому вектору, то .

Если векторы и заданы своими координатами: , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат.

Задание. Найти скалярное произведение векторов и

Решение. Скалярное произведение

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов