Действительная часть числа равна

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по математике

«Комплексные числа» Студента(ки)_______________________________________________________

 Специальность:_____________________________________________________

1.Актуализация знаний.

Вспомним, что знакомство с математикой вы начали с натуральных чисел (N), т.е. с чисел, которые употребляются при счете: 1, 2, 3, 4, 5, … .

Добавлением к натуральным числам отрицательных чисел и нуля множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел (Z).

Однако, частное двух целых чисел может не быть целым числом. Таким образом, в истории развития понятия о числе появляются рациональные числа (Q), т.е. числа вида , где m – целое и n – натуральное. Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической  десятичной дроби.

Если же бесконечная десятичная дробь не периодическая, то она не является рациональным числом. Например, дробь 0,101001000100001… В этом случае говорят, что данная дробь является иррациональным числом (I).

Рациональные и иррациональные числа образуют  множество действительных чисел (R).

2. Структурированный конспект.

2.1. Понятие комплексного числа.

Рассмотрим уравнение х²-4=0. Оно имеет действительные корни х=±2.

Какие корни имеет уравнение вида х²+4=0?

Очевидно, что действительных корней данное уравнение не имеет.

Однако, корни все-таки есть и они представлены в виде комплексных чисел.

Определение 1:комплексными числами называют выражения вида z=α+bi, где  

                      α и bдействительные числа, а i²=-1 (мнимая единица).

Причем, число α называют действительной частью комплексного числа (обозначается a = Re z), а число b- мнимой частью комплексного числа (обозначается b = Im z ).

Образец.

Определите действительную и мнимую части следующих чисел:

a) z=6+5i;  b) z=-3+0,2i; c) z= i.

Решение: а) Re z=6,  Im z=5; b) Re z=-3,  Im z=0,2; с) Re z=0,  Im z= .

№1 Задание на осознание.

Заполните таблицу. Осуществите самоконтроль (блок «Самоконтроль» приложение1).

Даны комплексные числа

Мнимая часть числа равна

Баллы за верные ответы

1. z=4-i

2. z=109

3. z=- + i

4. z=i

5. z=0

Сумма баллов равна

Таблица 1

Определение 2: сопряженным с z=α +bi называется комплексное число ,

                                  которое обозначается .

Образец.

Например: , , .

№2 Задание на понимание.

Записать комплексное число, сопряженное с данным числом:

а) 1+i, __________________ ; б) 2+3i,___________________;

в) -3+4i,____________________;      г) -7-5i,____________________;

 д) ,__________________ ; е) ._____________________.

Проведи самооценку, используя блок «Самоконтроль» приложение2.

Результаты по баллам занеси в таблицу:

№ задания

Балл за верный ответ

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Сумма баллов равна:

Таблица2.

2.2. Действия с комплексными числами.

2.2.1. Сложение комплексных чисел.

Определение 3: суммой двух комплексных чисел α+bi  и c+di называется

                      комплексное число (α+c)+(b+d)i.

Образец.

Найти сумму , если , .

Решение: .

2.2.2. Вычитание комплексных чисел.

Определение 4: разностью двух комплексных чисел α+bi  и c+di называется

                      комплексное число (α-c)+(b-d)i.

Образец.

Вычислите ,

Решение:

2.2.3. Умножение комплексных чисел.

Определение5: произведением двух комплексных чисел α+bi  и c+di называется

                      комплексное число (αc-bd)+(ad+bc)i.

Образец.

Выполните действия: z₁·z₂, если и .

Решение: 

Перемножим заданные комплексные числа как два двучлена, то есть

2.2.4. Деление комплексных чисел.

Определение 6: частное комплексных чисел и находится

                      путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное

                      число к знаменателю:

Образец.

Найти частное комплексных чисел:

2) 3)

Решение:
1)

Умножение комплексных чисел выполняем как умножение многочленов.

i² заменяем на -1.

2)

3)

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают такими же свойствами, как и для действительных чисел:

Переместительное свойство:

Z₁ +Z₂=Z₂+Z₁,  Z₁·Z₂=Z₂·Z_1.

Сочетательное свойство:

(Z₁+Z₂)+Z₃=Z₁+(Z₂+Z₃),   (Z₁·Z₂)·Z₃=Z₁·(Z₂·Z₃).

Распределительное свойство:

Z₁·(Z₂+Z₃)=Z₁·Z₂+Z₁·Z_3.

№3 Задание на применение.

Для качественного выполнения заданий используй учебник.

Организуй собственную деятельность по выполнению действий над комплексными числами z₁= 2 + 3i,z₂= 5 – 7i, z₃= , z₄= .  

Найти:

а)z₁+z₂=___________________________________________________________;

б)z₁–z₂=___________________________________________________________;

в)z₁z₂=____________________________________________________________;   

г) =

                                                                                                                                   ;

д) z₃+z₄=___________________________________________________________;

е) z₃–z₄=___________________________________________________________;

ж) z₃z₄=____________________________________________________________;   

з) =

Осуществи самооценку, используя блок «Самоконтроль» приложение3.

Результаты по баллам занеси в лист самооценки:

№ задания

Балл за верный ответ

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Сумма баллов равна:

Таблица3.

№4 Задание на анализ.

Проанализируй рабочую ситуацию, осуществи контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности. Для качественного выполнения заданий используй лекции в тетради.

а) Найти действительные числа x и y из равенства:

 (x+3iy)+(2y-3ix)=1+2i

                                                                                    Ответ:

б) Вычислите:

(5 + 3i)3=_____________________________________________________________

____________________________________________________________________

в) Решите уравнение:

 z(1-2i)=2+5i.

                                                                                          Ответ:

Лист самооценки:

  Приложение 4.

№ задания

Балл за верный ответ

а)

б)

в)

Сумма баллов равна:

Таблица 4.

№5 Задание на синтез.

Доказать, что для любых комплексных чисел z₁ и z₂ справедливо равенство:

                                                       .

Данное задание оценивается в 3 балла и проверяется преподавателем.

2.3. Модуль комплексного числа.

Определение 7: Модулем комплексного числа z=α+bi называется число

                  и обозначается , т.е. = |α+bi|= .

Образец.

Найдем модуль комплексных чисел:

а) |2|=2; б) ; в) ;   

 г) ; д) ;  

 е) .

№6 Задание на применение.

Осуществляя поиск информации (из интернет- ресурса), необходимой для

эффективного выполнения профессиональных задач, найдите модуль комплексных чисел:

а) |3-4i|=______________________________________;

б) |-8-6i|=_____________________________________;

в) |1-i|=_______________________________________;

г) |-3i|=_______________________________________;

д) =______________________________________;

е) =_______________________________________________________.

Оцени свою работу, используя блок «Самоконтроль» приложение5.

Результаты по баллам занеси в лист самооценки:

№ задания

Балл за верный ответ

№ задания

Балл за верный ответ

а)

г)

б)

д)

в)

е)

                                                                   Сумма баллов равна:

Таблица5.

2.4. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью.

Любому комплексному числу z=α+bi можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: (α;b), и радиус-вектор r (существуют также обозначения |z|,p) комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Образец.

Отметим комплексные числа на комплексной плоскости.

Одной из типичных задач электротехники является сложение токов. Используя правило сложения векторов по правилу параллелограмма и расположение комплексных чисел на комплексной плоскости можно построить векторную диаграмму

 2.5. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Для всякого комплексного числа z=α+bi справедливо равенство (1):

z=r(cosφ+isinφ)

Здесь r=|z|= , a угол φ удовлетворяет условиям:

cosφ= , sinφ= ,     φ∈[0,2π).

Равенство (1) называют тригонометрической формой комплексного числа z.

Образец.

Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:

а) z=-i; б) z=2+2i; в) z= .

Решение:

а) Пусть z=α+bi=−i, то есть α=0, b=−1. Тогда

|z|= , cosφ=0/1=0, sinφ=−1/1=−1⇒ φ=3π/2.

Таким образом, z=cos3π/2+isin3π/2.

Ответ: z=cos3π/2+isin3π/2.

б) Имеем, z=2+2i. Значит: α=2, b=2, следовательно

|z|= , cosφ= , sinφ= ⇒ φ=π/4,

 Получим:       z= (cosπ/4+isinπ/4).

Ответ: z= (cosπ/4+isinπ/4).

в) Запишем число z= в тригонометрической форме.

В данном случае α= ,  b=−1, значит:

|z|= , cosφ= , sinφ= .

В нашем случае угол φ лежит в четвертой четверти и равен .

Имеем,  z=2(cos +isin ).

Ответ:  z=2(cos +isin ).

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень n , где n - натуральное число.

                              ¯ формула Муавра.

 Образец.

Определение 8: показательной формой комплексного числа z=α+bi называется

                      выражение z=re^iφ, где r=|z|= - модуль комплексного

                      числа, e^iφ - расширение экспоненты на случай, когда показатель

                      степени является комплексным числом.

Таким образом: z= α+bi =r(cosφ+isinφ)= re^iφ.

Образец.

a) Записать комплексное число z=4-3i в показательной форме.

Решение:

Воспользуемся формулами описанными выше. Модуль комплексного числа равен:

|z|=r= , tgφ= , значит φ=- arctg .

Следовательно, показательная форма имеет вид:

Z=5 .

Ответ: z=5 .

б)  Для комплексного числа в показательной форме z=2 найти его алгебраическую форму.

Решение:

Используя формулу Эйлера, получаем:

z=2 =2(cos +isin )=2 =1+ .

Ответ: z=1+ .

№7 Задание на синтез.

В случае необходимости воспользуйся консультацией преподавателя через электронную почту.

а) Запиши комплексное число в тригонометрической форме:

3 ______________________________________________________

____________________________________________________________________.

б) Для комплексного числа z=3+  найди z²⁰.

в) Дано число z=5i. Записать показательную форму числа равного .

3. Самоконтроль.

Приложение 1.

 В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл. Сверьте свои ответы с данными следующей таблицы и занесите число баллов в каждую строку таблицы1, строка «Баллы за верные ответы».

Даны комплексные числа

Действительная часть числа равна

Мнимая часть числа равна

1. z=4-i

-1

2. z=109

3. z=- + i

-

4. z=i

5. z=0

Приложение 2.

В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл. Сверьте свои ответы с ниже предложенными и занесите число баллов в каждую строку таблицы2, строка «Балл за верный ответ».

а) =1-i, б) = 2-3i, в) =-3-4i, г)  =-7+5i, д) , е) .

Приложение 3.

В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл. Сверьте свои ответы с ниже предложенными и занесите число баллов в каждую строку таблицы3, строка «Балл за верный ответ».

№ примера

Ответ

№ примера

Ответ

а)

7 – 4i

д)

б)

– 3 + 10i

е)

в)

31 +i

ж)

г)

з)

-1

Приложение 4.

В данном задании каждый верный ответ оценивается в 2 балла. Сверьте свои ответы с ниже предложенными и занесите число баллов в каждую строку таблицы3, строка «Балл за верный ответ».

№ примера

Ответ

а)

б)

-10+198i

в)

Приложение 5.

В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл. Сверьте свои ответы с ниже предложенными и занесите число баллов в каждую строку таблицы5, строка «Балл за верный ответ».

№ примера

Ответ

№ примера

Ответ

а)

г)

б)

д)

в)

е)

Заключение

Рассматривая требования к результатам освоения основной

профессиональной образовательной программы, можно сделать вывод, что

все прописанные там компетенции удачно решаются при выполнении внеаудиторных самостоятльных работ.

Студент, выполняя работу, организует собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем (ОК1).

    Работа включает задания на анализ и синтез, на самоконтроль и самокоррекцию собственной деятельности ( ОК 3).

Выполнение работы требует поиска нужной информации из различных источников, в том числе из интернет-ресурсов, для эффективного выполнения эффективного математических задач ( ОК 4, ОК 5).

Студент может общаться с преподавателем , с другими студентами через электронную (ОК 6).

В данном случае задачами преподавателя являются: оказание

консультационных услуг, формирование мотивации к самостоятельной работе.

В учебном пособии материал подан эффективно, полно, доступно, присутствует наглядный материал.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы

[Текст]: учебник для общеобразоват. учреждений: базовый уровень /

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение,

2010. – 464 с. – ISBN 978-5-09-021024-9. (Рекомендовано Министерством

образования и науки РФ).

2. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике [Текст]: учебное

пособие для средних профессиональных учебных заведений / Н.В.

Богомолов. – М.: Высшая школа, 2008. – 495 с. – ISBN 978-5-06-005713-3.

(Рекомендовано Министерством образования и науки РФ).

3. Соловейчик, И.Л. Сборник задач по математике с решениями для

техникумов [Текст] / И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. – М.: ООО

«Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и

образование», 2003. – 464 с. – ISBN 5-94666-121-3.

4. Подольский, В.А. Сборник задач по математике [Текст] : учеб. Пособие

В.А. Подольский, А.М. Суходский, Е.С. Мироненко. – М.: Высшая

школа. 2005. – 495 с. – ISBN 5-06-005506-Х.

5. Сайт Московского центра непрерывного математического образования

(МЦНМО) [Электронный ресурс].-http://www.mccme.ru Дата обращения

10.02.2015

6. Сайт Allmath.ru — вся математика в одном месте[Электронный ресурс].-

http://www.allmath.ru . Дата обращения 11.02.2015

7. Методика преподавания математики [Электронный ресурс].-

http://www.methmath.chat.ru . Дата обращения 1.02.2015

8. Графики функций [Электронный ресурс].-

9. http://www.graphfunk.narod.ru. Дата обращения 2.02.2015__

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману