Процесс размножения-гибели. Марковская модель, но не прг.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 2Следующая ⇒

    C:\!!!!2Shkpn\2020-2021 уч_год\Для лекций и практ\Для нед_3\ПРГ и агрег_ с парам_связи.docx

Процесс размножения-гибели

    Марковский процесс, с помощью которого была построена математическая модель в примере 2.8, является представителем важного класса марковских процессов – процессов размножения-гибели (ПРГ). Для ПРГ решение СЛАУ относительно стационарных вероятностей состояния записывается в явном виде.

    ПРГ – это марковский процесс, граф переходов которого имеет такой вид, как на рис. 2.4. Каждое состояние в нем связано с двумя соседними, каждое из двух крайних связано с одним соседним.

Рис. 2.4. Граф переходов ПРГ

        Для получения выходных параметров систем обслуживания часто бывает достаточно вычислить значения стационарных вероятностей .

    Вероятность  равна средней доле времени, проведенного системой в состоянии .

    Эта система может быть получена непосредственно из графа по правилу «что входит, то и выходит» (принцип сохранения потока). Решение системы с учетом уравнения нормировки

легко получить в явном виде последовательным выражением вероятностей  для  через и подстановкой их в уравнение нормировки.

Попробуем. Вернемся к графу и уравнениям

 . Из второго

 сокращая ; отсюда  

Или  

Продолжая так же, получаем

или

(2.41)

Подставляем все , выраженные через  в уравнение нормировки

 В результате получим, что для ПРГ решение СЛАУ относительно стационарных вероятностей состояния имеет вид:

(2.49)

Дальше считаем N_ср , M[Тр] и другие выходные параметры.

Почти одинаково считаются разомкнутые модели М/М/1, М/М/2, М/М/3,…(с любым числом процессоров и одним внешним пуассоновским потоком) и замкнутые модели

М/М/1/N (это как раз пример 2.8), М/М/2/N, М/М/3/N,…(с любым числом процессоров и N терминалами).

У них очень похожие графы переходов.

Например система М/М/К/N. В ней N (допустим, 100), терминалов и К ОА (К параллельно работающих процессоров, допустим, К = 7)

Назовем условно в графе строку лямбд строкой числителей, а строку мю строкой знаменателей. А между ними строка состояний (количества запросов в системе – в очереди и в процессорах – от нуля до 100).

И тогда строка числителей (коэффициентов при λ) – от 100 до 1, а строка знаменателей – от 1 до 7, а дальше сплошные семерки, потому что она (коэффициенты при μ) определяется формулой C(i)=min(i,К). То есть, сколько процессоров занято обслуживанием, когда в системе i заявок.

В Excel все эти три строки  графа удобно расположить по вертикали (их от 0 до 100, а захотел –тут же можно расширить и до 250 или 500. (формулы однотипные –для двух –трех n написал – и протянул вниз до 500. Только формулы для суммы надо написать вверху (типа «от 0 до 2000») на всякий случай, чтобы не лазать вниз менять их при изменении N, и сразу было видно, что сумма вероятностей равна 1

Потом считается столбец коэффициентов (начиная с 1, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на предыдущий числитель, деленному на текущий знаменатель и умноженному на ρ=λ/μ. Тянем вниз до N или дальше (предусмотрев, чтобы дальше N были нули (например, через формулу в строке числителей)

Р0 - это сумма всех коэфф-тов. Сами сообразите, какая формула

в строке Р1 и дальше (опять через числители и знаменатели). Сообразите про формулы столбца для получения среднего значения (Nср) и эффективной производительности.

И потом среднее время реакции исходя из принципа: В замкнутых системах среднее время в каждой части системы пропорционально среднему числу требований в ней.

Проверяйте реализацию: сумма вероятностей равна 1, меняйте исх. данные для проверки правдоподобия поведения модели и т.д.

Агрегирование с использованием параметра связи

    В настоящей главе рассмотрим примеры структурно более сложных марковских моделей, а на их основе – методы повышения вычислительной эффективности моделей, в результате чего становится возможным проведение многовариантных расчетов [18].

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?