Решение показательных уравнений

Показательные уравнения

Ссылка на видео урок

https://cknow.ru/knowbase/543-215-pokazatelnye-uravneniya.html

Показательные уравнения

Если в уравнении присутствуют степенные выражения, а переменная находится в показателе степени, то такие уравнения называются показательными.

Данные уравнения не составят труда для тех, кто знает свойства степенных функций видау = а^х, где основание степени есть число большее нуля, а также не равное единице. Сейчас постараемся вспомнить или выучить их:

1. Областью значения данной функции являются все действительные числа.

2. Областью значения функции являются все положительные числа.

3. Если основание степени находится в пределах между нулем и единицей 0 < а < 1, то график данной функции будет монотонно убывать. Если же а > 1, то функция монотонно растет.

4. Отличительной особенностью графика данной функции является то, что он не касается оси ОХ, но стремится к ней на бесконечности. При этом ось ОУ данный график пересекает в точке (0;1), данная точка получается в том случае, если в качестве показателя степени выбрать число "0". А мы знаем, что любое число в данной степени даст единицу.

Обратите внимание на исключение, которое было задано изначально - в основании степени не может стоять единица, поскольку в данном случае при любом показателе степени число изменяться не будет и графиком такой функции будет прямая, параллельная оси ОХ.

Существует несколько самых простых способов решить данное уравнение. Однако, обратите внимание, если уравнение не имеет явное сходство с уравнениями, представленными ниже, то его нужно привести к простому виду.

Главным путем решения таких уравнений является приведение его к одному основанию.

• Если одна из частей уравнения равна единицы, а вторая - степенная функция с переменной в показателе степени, то имеем основной алгоритм решения:

аf(x) = 1 => аf(x) = а0 => f(x) = 0.

Когда уравнение приведено к конечному виду, его следует решать, как любое простейшее алгебраическое уравнение по известным, описанным ранее, способам.

• Если по обеим частям уравнения находятся выражения, в которых основания одинаковы, то имеем право отбросить основания и приравнять показатели степени:

аf(x) = аg(x) => f(x) = g(x).

• Если некоторая степень с переменным показателем равна произвольному числу, то следует воспользоваться основным свойством логарифмов:

аf(x) = b => f(x) = logab.

Образец.

Решить уравнение:   3^{2х + 1} = 27.

Решение. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3;

                                     3^{2х + 1} = 3³;                                                                           если равны степени и равны их основания, то равны и показатели этих степеней. Значит,

                                      2x + 1 = 3;

                                       2x = 3 – 1;

                                        2x = 2;

                                          x = 1.        Ответ: 1.  

Решить самостоятельно (по образцу)

              5^{3х + 1} = 125                                                    

               9^{2х - 1} = 81

               4^{5х + 3} = 16

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте