Практическое занятие: Решение задач на определение главных центральных моментов инерции составных сечений, имеющих ось симметрии

Название дисциплины: ОП.02 Техническая механика

Номер группы: ТОР 20-1.

Форма и дата занятия: Практическое занятие 13.11.2021 г. ФИО преподавателя: Иовлев Виталий Александрович iva13pmv@yandex.ru, https://vk.com/club194253640, Ватсап+79829100492

Срок выполнения (сдачи) задания: 13.11.2021г.

Дата консультации: 13.11.2021г.

Формулировка задания.

Необходимо изучить материал и выполнить задания.

1. Прочитать материал по теме

2. Написать конспект практической работы

Определение главных центральных моментов инерции сечений, имеющих одну или две оси симметрии: а) сложной фигуры; б) сечения, составленного из стандартных профилей проката.

Пример: Определить моменты инерции сечения (рис 16), составленного из прокатных профилей, относи­тельно главных центральных осей. Сечение состоит из двутавра № 33, швеллера № 27, двух уголков 90х56х6 и листа сечением 12х180 мм.

Решение: 1. Положение центра тяжести определено в примере: у_с = 2,33 см, если ось проходила через центр тяжести двутавра

2. Проводим центральные оси для каждого профиля проката х₁, х₂, х₃, х₄ и х₅.

3. Проводим главные центральные оси. Вертикальную ось v совмещаем с осью симметрии, а горизонтальную u проводим через центр тяжести сечения С перпендикуляр­но оси v.

4. Определим момент инерции сечения относительно оси и по формуле

I_и = I^шв_u + I^уг_u + I^уг_u + I^дв_u + I^листа_u

Учитывая, что уголки одинаковые и расположены на одинаковом расстоянии от оси u, получим

I_и = I^шв_u + 2I^уг_u + I^дв_u + I^листа_u (а)

Определим величину каждого слагаемого. Момент инер­ции швеллера № 27 относительно оси u равен:

I_u^шв = I ^шв_х1 + а₁^шв А_шв = 262+ 12,3² · 35,2 = 5587 см⁴,

где I ^шв_х1 = I ^шв_{у табл} =262 см⁴; момент инерции швеллера № 27 относи­тельно центральной оси х₁, совпадающей с осью у (см табл 1,4 прил. I); a₁ = у₁—у_с = 14,63— 2,33= 12,3 см; расстояние между осями х₁ и u; А_шв = 35,2 см².

Момент инерции уголка 90x56х6 относительно оси u равен:

I_u^уг = I ^уг_х2 + а₂² А_уг =21,2 + 6,55² ·8,54 = 388 см⁴,

где I ^уг_х2 = I ^уг_{у табл} =21,2 см⁴, момент инерции уголка 90х56х6 относи­тельно центральной оси, совпадающей с осью у (см. табл. 2 прил. I); а₂= у₂—у_с = 8,88—2,33 = 6,55 см, расстояние между осями х₂ и u; А_уг=8,54 см².

Момент инерции двутавра № 33 относительно оси u paвен:

I_u^дв = I ^дв_х4 + а₄² А_дв = 9840 + 2,33² ·53,8 = 10132 см⁴,

где I ^дв_х4 = I ^дв_{х табл} =9840 см⁴ — момент инерции двутавра № 33 относительно центральной оси х₄, которая совпадает с осью х (см. табл. 1 прил. I); а₄=у_с = 2,33см; расстояние между осями x₄ и u; А_дв=53,8 см².

Момент инерции листа 12х180 мм относительно оси u

I_u^листа =I_х5^листа+а₅²А_лист= 2,59+1 9,43²·21,6 = 8157 см⁴,

Где I_х5^листа===2,59см⁴; момент инерции листа от­носительно оси х₅ (см. прил.II);а₅=у₅+у_с = 17,1+2,33= 19,43 см —расстояние между осями х₅ и u; А_ЛИСт= 18·1,2=21,6 см².

Подставим полученное значение в формул (а)

I_u = 5587 + 2 ·388+ 10132 + 8157 = 24652 см⁴.

Рис.16

5. Определим момент инерции сечения относительно оси v

I_v = I^шв_v + 2I^уг_v + I^дв_v + I^листа_v (б)

Момент инерции швеллера № 27 отосительно оси v ра­вен:

I ^шв_v = I ^шв_{х табл} I ^шв_у1 =4160 см⁴ (см. табл. 4 прил. I).

Момент инерции уголка 90х56х6 относительно оси v равен:

I_v^уг = I ^уг_у2 + b₂² А_уг = 70,6 + 16.45² ·8,54 = 2382 см⁴,

_где I ^уг_у1 = I ^уг_{х табл} =70,6 см⁴ — момент инерции уголка относительно центральной оси у₃, которая совпадает с осью х (табл. 2 прил. I);

b₂ =h_шв/2 + у₀(уг) = + 2,95 = 16,45 см,

расстояние между осью у₂ и осью v; А_уг = 8,54 см².

Момент инерции двутавра № 30 относительно оси v ра­вен:

I ^дв_v= I ^дв_у = I ^дв_{у табл} =419 см⁴ (см табл. 3 прил. I)

Момент инерции листа 12х180 мм относительно оси v равен:

I_v^листа= = 584 см (см. прил. II).

Подставим полученные значения в выражение (б)

I_v= 4160 + 2 ·2382 + 419+ 584 = 9926 см.

Ответ: I_u = 24 652 см⁴; I_v = 9926 см⁴.

Пример . Определить моменты инерции сечения, со­ставленного из простых геометрических фигур, относи­тельно главных центральных осей по условию примера (см.рис. 17).

Решение: 1. Положение центра тяжести определено в примере: (см.рис. 7).

у_с = 9,84 см.

2. Для каждой фигуры проводим центральные оси х₁,х₂,х₃,х₄ и х₅, причем оси х₃ и х₄ совпали.

3. Проводим главные центральные оси. Вертикальную ось v совместим с осью симметрии, а горизонтальную ось u проведем через центр тяжести сечения С перпен­ дикулярно оси v (рис. 17).

4. Момент инерции сечения относительно оси u опре­делим по формуле

I_u = I_u^I + I_u^II + 2I_u^III - I_u^IV

Определим значение каждого слагаемого. Момент инерции первой фигуры — прямоугольника — равен:

I_u^I = I_х1 + а₁²А=IuI = см⁴

Момент инерции второго прямоугольника

I_u^II = I_х2 + а₂²А₂= см*.

Рис. 17

Момент инерции треугольника

I_u^III= I_х3^III + а₃² А₃= см⁴

Момент инерции круга

I_u^V= I_х3^III + а₅² А₅= см⁴.

Подставим числовые значения в формулу для опре­деления

I_u = 93636 + 92166 + 2 · 17758 — 1515 = 219803 см⁴.

5. Определим момент инерции сечения относительно оси v по формуле

I_v = I_v^I + I_v^II + 2I_v^III - I_v^V

_гпе I_v^I = 42667 см⁴;

I_v^II = 2552 см⁴

I_v^III = см⁴

I_v^V= I_х3^III = см⁴

Подставим числовые значения в формулу для опреде­ ления I_v:

I_v = 42667 + 2552 + 2 · 8210 — 64 = 61575 см⁴.

Ответ: I_и = 219 803 см⁴; I_v = 61 575 см⁴.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте