Контрольные вопросы к лекции 4

ЛЕКЦИЯ 4

Определение площади. Измерение площади. Аддитивность площади.

1. Что такое многоугольная фигура?

Многоугольной фигурой будем называть фигуру, ограниченную конечным числом отрезков

2. Сформулируйте свойства площади многоугольной фигуры.

Площадью многоугольной фигуры называется величина, обладающая следующими двумя свойствами:

1) Равные фигуры имеют равные площади;

2) Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

Первое свойство – инвариантность (неизменяемость) при перемещении, второе – аддитивность; его достаточно требовать для того случая, когда фигура слагается из двух фигур.

3. Что такое площадь фигуры?

Площадью фигуры F называется величина, которая не больше площадей многоугольных фигур, содержащих F , и не меньше площадей многоугольных фигур, содержащихся в F, при условии, что разности этих площадей могут быть сколь угодно малыми. Мы говорим тогда, что фигура F имеет определенную площадь.

4. Сформулируйте теорему об аддитивности и инвариантности площади.

Определенная только что площадь обладает свойствами инвариантности и аддитивности:

1) Если фигура F имеет определенную площадь S(F), то каждая равная ей фигура F^` тоже имеет определенную площадь, и притом равную S(F).

2) Если фигура F составлена из фигур F₁, F₂ с определенными площадями S(F₁), S(F₂), то она тоже имеет определенную площадь S(F) и S(F)=S(F₁)+S(F₂).

5. Что такое внешняя площадь фигуры? Внутренняя?

Пусть теперь F – какая-либо фигура. Сопоставим ей две фигуры из квадратов n-й сетки:  (i, e – первые буквы слов interior – внутренний, exterior – внешний). Фигура  состоит из всех квадратов n-й сетки, внутренности которых содержатся в F. «Площади» этих фигур обозначаем .

«Площадью» (численной площадью) фигуры называется общее значение ее внешней и внутренней площади, когда они равны.

6. Сформулируйте и докажите теорему об «аддитивности «площадей»».

Если фигуры F₁,F₂ имеют определенную «площадь» и не имеют общих внутренних точек, то фигура F₁+F₂ тоже имеет определенную «площадь» и

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров