Решение несобственных интегралов

Решение несобственных интегралов

Червского Сергея 9 группа

Важно: перед решением любого несобственного интеграла проверить подынтегральную функцию на непрерывность/наличие разрывов на промежутке интегрирования. Идентифицируем тип интеграла и выбираем метод решения.

Теория:

1.

Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Применение формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле, но под знаком предела. Несобственный интеграл расходится.

2.

Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале. Берем простейший интеграл от степенной функции, подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

3.

Замена t=x². Находим первообразную. Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница.

4. подынтегральная функция не существует в точке а

несобственный интеграл второго рода. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке ¾. Замена: t=3-4x. Формула (мы стремимся к значению 3/4 справа)

5. подынтегральной функции не существует в точке b

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке 3. Замена t=x-3. Формула (к точке 3 мы приближаемся слева)

6. четная функция по симметричному относительно нуля отрезку

 Проверяем на четность, вычисляем по правилу

7. нечетная функция по симметричному относительно нуля отрезку

Проверяем на нечетность, согласно правилу интеграл равен 0

8. несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования

Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Представляем интеграл в виде суммы двух интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

9. несобственный интеграл второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка

Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в обоих концах отрезка интегрирования. Представляем интеграл в виде суммы двух интегралов и случаи 4 и 5 ИЛИ случай 6

10.

Табличный интеграл, b -> 1

11. несобственный интеграл с точкой разрыва на отрезке интегрирования

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв на отрезке в точке 1. Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов и случаи 4, 5

12. Формула понижения степени

13.

Разложим на множители знаменатель. Разложим дробь на сумму дробей. Подстановка u=x−1. Табличный интеграл. Обратная замена. Подстановка u=x+2. Табличный интеграл. Обратная замена. Формула Ньютона-Лейбница

14.

Замена u=√1-x. табличный интеграл, обратная замена. Предел при b -> 1

15.

Разложим на множители знаменатель. Разложим на сумму дробей. Разложим на сумму интегралов. 1) Выделим полный квадрат, Подстановка u=√2x+1. Табличный интеграл. Обратная замена. 2) Выделим полный квадрат, Подстановка u=√2x-1. Табличный интеграл. Обратная замена. Предел при b -> +∞

Парочка примеров решения интегралов:

1)

2)
3)

4)

5)

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры