Задачи к билетам экзамена по ВМ-1

Вопросы к экзамену по ВМ-1

Доц. И. А. Шилин, 2016

1. Двойной интеграл: определение, свойства, геометрический смысл, сведение к повторному.

2. Замена переменных в двойном интеграле, геометрический смысл якобиана, переход от декартовой к полярной системе координат. Цилиндрическая и сферическая координатные системы в .

3. Векторное поле, его дивергенция и ротор, потенциальность и соленоидальность.

4. Криволинейный интеграл первого рода, его свойства и геометрический смысл. Криволинейный интеграл второго рода. Сведение криволинейных интегралов к линейным.

5. Циркуляция двумерного вектора. Формула Грина. Необходимые и достаточные условия потенциальности векторного поля.

6. Поверхностный интеграл первого рода, его геометрический смысл. Поверхностный интеграл второго рода (поток вектора). Сведение поверхностных интегралов к двойным.

7. Поток вектора через замкнутую поверхность, формула Остроградского – Гаусса. В каком смысле она является аналогом формулы Грина?

8. Циркуляция трехмерного вектора, формула Стокса. В каком смысле она является аналогом формулы Грина?

9. Производная функции комплексного переменного в заданной точке. Аналитичность функции в области и точке. Вывод условий Коши – Римана в декартовой системе координат. Формула производной.

10. Условия Коши – Римана в полярной системе координат. Оператор Лапласа, его ядро (гармонические функции). Как аналитическая функция связана с ядром оператора Лапласа?

11. Функции  и их свойства.

 12. Функция  и ее свойства. Как получаются формулы, определяющие функции  и ?

13. Интеграл функции комплексного переменного, сведение его к криволинейному интегралу второго рода или линейному интегралу. Интегральная теорема Коши для односвязной области.

14. Преобразование Лапласа, его линейность, теоремы смещения, подобия. Вывод формулы для .

Вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми .

Вычислить , где  –  верхний полукруг .

Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой .

Найти площадь фигуры, которая ограничена кривой .

Найти объем цилиндрического бруса, если основанием бруса является круг в плоскости  с центром в начале координат и радиуса 6, а сверху брус ограничен поверхностью .

Вычислить криволинейный интеграл , где  – участок астроиды ,  от точки  до точки .

Для векторного поля  вычислить работу вектора  вдоль участка винтовой линии , где .

С помощью формулы Грина вычислите циркуляцию вектора  вдоль окружности .

Показать, что двумерное векторное поле  потенциально, а трехмерное поле  соленоидально. Чему равен поток вектора  через всю поверхность сферы ?

Применяя формулу Стокса, вычислить циркуляцию вектора  вдоль замкнутого контура , являющегося пересечением плоскости  и параболоида .

Применяя формулу Остроградского – Гаусса, вычислите поток вектора  через внешнюю сторону поверхности сферы .

Гармонична ли функция ? Если да, найти аналитическую функцию , такую, что .

Вычислить интеграл .

Восстановить аналитическую функцию , зная, что ее мнимой частью является функция , и вычислить интеграл .

Проверив условия Коши – Римана, найдите точки, в которых функция  аналитична. Вычислите интегралы  и .

Вычислить интеграл , где путь интегрирования состоит сначала из левой полуокружности  от точки  до точки , а потом из отрезка оси ординат от  до .

Вычислить интеграл , где путь интегрирования состоит сначала из левой полуокружности  от точки  до точки , а потом из отрезка, соединяющего точку  с точкой .

Представьте функцию  рядом Тейлора в окрестности точки , укажите круг и радиус сходимости. К какому типу относятся изолированные особые точки функции ?

Зная, что  и , найдите решение задачи Коши .

Найдите общее решение уравнения . К какому типу линейных уравнений второго порядка относится это уравнение в частных производных?

Представить функцию  в виде ряда Маклорена.

Представить функцию  в виде ряда Маклорена.

Представить функцию  в виде ряда Тейлора в окрестности точки .

Представить функцию  в виде ряда Тейлора в окрестности точки .

Представить функцию  в виде ряда Тейлора в окрестности точки .

Вычислить интеграл , где  - параллелограмм, образованный прямыми .

Вычислить объем той части верхней полы конуса , которая лежит внутри шара .

Применяя формулу Грина, вычислить циркуляцию векторного поля  вдоль окружности .

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов