Тема. Вычисление первообразных. Метод замены переменной в подынтегральном выражении.

Тема. Вычисление первообразных. Метод замены переменной в подынтегральном выражении.

Занятие 5.

Замечание.Символом мы обозначаем производную функцию в точке .

Как мы уже знаем из предыдущей лекции операция перехода от функции  к её первообразной называется неопределённым интегрированием и записывается формулой

                                                                                                                  (3.1)

При вычислении интеграла используются свойства: 

1)                                    .                                           (3.2)

2)                                        инвариантности интегрирования:

 Если  , то ,где  любая дифференцируемая переменная, а также правила интегрирования:

Для  проверки  правильности полученного результата используют свойство

                                                                               (3.3)

     Пример 1.Проверить правильность формул

   ; ;

     Решение. Используем свойство (3.3)                    

Свойства показывают нам, что операции дифференцирования и неопределённого интегрирования являются взаимно обратными с точностью до произвольной постоянной.

Практически любой метод неопределённого интегрирования заключается в следующем. Используя свойства и правила интегрирования, мы преобразуем интеграл к известному табличному интегралу.

Существует три основных метода интегрирования          

Метод замены переменной интегрирования в неопределённом интеграле

Теорема о замене переменной в определённом интеграле.

Пусть дифференцируемая функция такая, что функцию можно записать в виде . Тогда, если функция будет первообразной для функции

,(то есть ),

 то                                                   (3.4)

Доказательство. Справедливость теоремы проверяем с помощью формулы (3.3).               

Теорема доказана.

Оформим результат теоремы в виде таблицы. Эта таблица получена из таблицы (1.6) заменой переменной на новую переменную . (Проверьте этот факт!).

Перейдём к практическому вычислению неопределённых интегралов, решаемых методом замены переменной.

Пример 1. Найти неопределённые интегралы                                                                                   

Решение. 1) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 1).Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл          

Ответ.

2)  Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 5).Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

3) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 7).Преобразуем подынтегральное выражение                    Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ. ж

4) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 6).Преобразуем подынтегральное выражение                           

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

5) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 4).Преобразуем подынтегральное выражение                           

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

Пример 2. Вычислить неопределённые интегралы               

Решение. 1)  Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 1).Преобразуем подынтегральное выражение                           

Подставляем полученное выражение в интеграл    

Ответ.

2) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный  данному интегралу. Выбираем 2). Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

3) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 4). Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ. ;

4) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 8). Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ. ;

Самостоятельная работа                              

Упражнение 3.1.Найти первообразные функции для данных функций

           ;

Упражнение 3.2.Вычислить  неопределённые интегралы

Ответы.

Упражнение 3.2.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США