Pade Approximants to elliptic-type Functions

УДК 519.213.22

С. С. Гук, студент

е-mail: guki.guk@mail.ru

Юго-Западный государственный университет

К. Г. Малютин, д.ф.-м.н., профессор

АППРОКСИМАЦИЯ ПАДЕ ФУНКЦИЙ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ВИДА

Среди всех непрерывных соединений неколлинеарных точек a₁, a₂, a₃ в комплексной плоскости, существует единственный компакт D, который имеет минимальную логарифмическую емкость. Для комплексно-значной не равной нулю непрерывной по Дини функции h на D, мы определяем

,

где , а w⁺ – односторонней значение согласно некоторой ориентации w⁺. Установлена ​​связь между аппроксимацией Паде функции f_h  и классическими полиномами Чебышева.

Ключевые слова:логарифмическая емкость, непрерывность по Дини, аппроксимация Паде, полиномы Чебышева.

S. S. Guk, student

е-mail: guki.guk@mail.ru

Southwest State University

K. G.  Malyutin, Doctor of Science, Professor

Among all cotinua joining non-collinear points a₁, a₂, a₃ in complex plane, there exists a unique compact D that has minimal logarithmic capacity. For a complex-valued non-vanishing Dini-continuous function h on D, we define

where  and w⁺ is the one-sided value according to some orientation of D. We establish a connection between Pade approximation to f_h  and classical Chebyshev polynomials.

Keywords:logarithmic capacity, Dini-continuous, Pade approximation, Chebyshev polynomials.

Аппроксимирующие функции Паде являются простейшими и давно известными конструкциями в теории функций [1]. Они представляют собой рациональные функции типа (m,n), которые интерполируют функциональный элемент в данной точке с порядком m+n+1. Как известно, рациональная функция имеет тип (m,n), если она может быть представлена в виде отношения полинома степени не более m и полинома степени не более n. Эти аппроксиманты были введены для исследования экспоненциальной функции Эрмитом [2], который использовал их для доказательства трансцендентности числа е. Позднее они стали систематически использоваться его учеником Паде [3].

Континуум Чеботарева. Пусть  – три не коллинеарные точки в комплексной плоскости. Среди всех непрерывных кривіх, соединяющих  существует единственный связный компакт , называемый континуумом Чеботарева [4], содержащий эти точки и имеющий минимальную логарифмическую емкость [5]. Множество  состоит из трех аналитических

 дуг , исходящих из общей начальной точки , называемой центром Чеботарева, и заканчивающихся в точках . Известно, что касательные в точке  к двум соседним дугам образуют угол величиной . Мы предположим, что  и их соответствующие точки  упорядочены по часовой стрелке относительно ; см. Рисунок

       .                                    (1)

Другими словами, для любой гладкой параметризации дуги,

 для всех .    (2)

Обозначим через D дополнение к  в расширенной комплексной плоскости   и ориентируем каждую дугу  от  к . Эта ориентация определяет левую (+) и правую (-) стороны рассматриваемой дуги  и, следовательно,

                      ,

Согласно сказанному, определим границу  как кривую, состоящую их двух копий каждой дуги , левой и правой стороны, трех копий точки , и простой копии каждой точки . Ориентируем  по часовой стрелке, т.е. D лежит слева от , если граница обходится в положительном направлении.

Положим

   .            (3)

Эта функция голоморфна в ,   имеет непрерывный след на и , где  и  – следы  слева и справа, соответственно, на каждой дуге

Эллиптическая поверхность Римана.Обозначим через  риманову поверхность, определяемую функцией . Заметим, что для римановой поверхности , определяемой алгебраической функцией f, справедливо соотношение:

род - порядок ветвления.

Таким образом,  имеет род 1, т.е.  является эллиптической римановой поверхностью. Мы представляем ее как двулистное разветвленное покрытие , построенное следующим способом. Две копии  разрезаются каждой дугой  из . Эти копии объединяются в каждой точке  и вдоль разрезов так, что левая (правая) сторона каждой  первой копии, скажем , объединяется с левой (правой) стороной соответственно  второй , см. рисунок 2. Таким образом, каждая дуга  соответствует циклу  на .

 продолжается на каждую сторону L, и траектории  на и  совпадают.  – голоморфна вдоль L по принципу аналитического продолжения, т.е.  является рациональной функцией на  (голоморфное отображение из  в ).

Секционно-мероморфные функции.Голоморфная (мероморфная) функция в  называется секционно-голоморфной (секционно-мероморфной).

 Пусть  – мероморфная функция в с непрерывными параметрами на L так, что

 ,                                  (5)

где h – непрерывная функция на , которая непрерывно продолжается на каждую дугу . Функция  определяет две мероморфные функции на D, именно

   и .                   (6)

 и  называются сопряженными функциями, определяемыми .

Так как области  склеены друг с другом вдоль  (см. рисунок 3), граничные значения задачи (5) определяют следующие соотношения между путями  и  на :

             .                                     (7)

Рисунок 3. Области  и  представляются как верхний и нижний слои (двух горизонтальных линий каждая). Каждая пара дисков, объединенных пунктирной линией представляет некоторую точку на , приближающуюся слева от  и справа от .

Если  не постоянная функция, то ее главный дивизор определяется равенством

       ,                                      (8)

где  - кратность полюса в точке , а - кратность нуля в точке  функции  , а  имеет полное (нуль) кратности  в каждой точке , в то время как  имеет ненулевые конечные значения во всех остальных точках , включая ее двухсторонние граничные значения на L. Кроме того,

 .         (9)  

В частности,  имеет главный дивизор  .

Функции типа Сегё.Функция h называется непрерывной по Дини на , если

      ,

где  .

Пусть h – Дини-непрерывная функция на  не равная нулю, тогда для , существует функция , которая мероморфна на  и имеет непрерывные траектории на L с обеих сторон, удовлетворяющие условию

               ,                          (10)

,  – главный дивизор . Более того  –  единственная функция, мероморфная на , с главным дивизором вида , , и непрерывными траекториями на L, удовлетворяющими (10), которая удовлетворяет условиям нормализации  где

Кроме того, если , тогда и . Это утверждение из [7].

Заметим, что если p – алгебраический полином не равный нулю на  и , то  есть многочлен, старший коэффициент которого равно +1, если .

Пусть  - конформное отображение D на   Тогда  , где  – логарифмическая емкость . Обозначим через  равновесную (гармоническую) меру

          .                    (12)

Положим

          ,                                  (13)

 следующая теорема доказана в [7].

Теорема 1. Пусть –  последовательность диагональных аппроксимантов Паде для  

      ,                   (14)

где p – полином, не равный нулю на . Тогда

                                    ,

для всех .

Основным результатом нашей работы является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть в (14)  на . Тогда полиномы  являются аналогом классических полиномов Чебышева.

Доказательство.

Так как функция  равна нулю на , то по теореме Коши

для всех z, принадлежащим внешности контура , где - положительно ориентированная жорданова кривая, охватывающая . Деформируя контур  в , учитывая, что , мы получаем наше утверждение как следствие теоремы 1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. W. B. Jones and W. J. Thron, Continued Functions, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass, 1980.

2. C. Hermite, Sur la fonction exponentielle, C.R. Acad. Sci. Paris 77 (1873), 18-24, 74-79, 226-233, 285-293.

3. H. Pade, Sur la representation approche d’une fonction par des fractions rationelles, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 9 (1892), 3-93.

4. M. Лаврентьев, Теория конформных отображений, Труды Физ.-Мат. Инст. Стеклов. Отдел. Мат. 5 (1934), 159-245.

5. T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge, 1995.

6. G. V. Kuz’mina, Moduli of Families of Curves and Quadratic Differentials, Proc. Steclov Math. Inst. Math. 1982.

7. L. Baratchart and M. L. Yattselev, Pade Approximants to Certain Elliptic-Type Functions, J. D’Analyse Mathematique 121 (2013), 31-86.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры