Задания для самостоятельного решения.

§ 5. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

5.1. Определения и метод алгебраических дополнений. Матрицей, обратной к квадратной матрице A размера nxn, называется матрица  того же размера, удовлетворяющая равенствам

                              ,                                              (5.1)

где E – единичная матрица соответствующего размера.

Теорема 5.1. Квадратная матрица A размера nxn имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля, т.е. когда |A|¹ 0 (такие матрицы называются невырожденными). При этом матрица  тоже невырожденная и

                                        ,                                         (5.2)

где  - матрица из алгебраических дополнений к элементам A.

Пример 5.1. Найти  для .

Решение. Проверим существование , вычислив определитель исходной матрицы:

Так как |A|¹ 0, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения к элементам исходной матрицы, используя определение из п.4.1:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Итак, ; . По формуле (5.2) (учитывая, что ) получаем: . Чтобы проверить ответ, необходимо убедиться в выполнении равенства (5.1).

5.2. Метод Гаусса построения обратной матрицы.Алгоритм метода заключается в следующем:

1) найти определитель и убедиться, что он отличен от нуля;

2) выписать матрицу A, приписать к ней справа единичную матрицу E соответствующего размера и «сдвоенную» матрицу  путем элементарных преобразований привести к матрице вида  (слева должна стоять единичная матрица, а справа появится искомая обратная).

Пример 5.2. Найти  для  методом Гаусса.

Решение. Матрица та же самая, что в примере 5.1, т.е. известно, что . Следовательно, матрица  невырожденная и имеет обратную. Составляем «сдвоенную» матрицу и проводим преобразования:

Таким образом, .

Замечание.Для невырожденной матрицы A существует одна и только одна матрица, обратная к ней. Этим свойством единственности можно (наряду с равенством 5.1) пользоваться при проверке. Так, матрицы, обратные к  и найденные в примерах 5.1 и 5.2 разными способами, совпали, значит,  найдена верно.

Пример 5.3. Решить матричное уравнение .

Решение. Введем обозначения: , . Уравнение принимает вид . Умножив обе части на матрицу  слева, получаем: ,  или   (так как ). Матрицу  найдем с помощью метода Гаусса:

Итак,  и, следовательно,

Упражнение 5.1. Доказать, что  (проверить выполнение равенств АВ=Е, ВА=Е):

1) , ; 2) , .

Упражнение 5.2. Проверить, имеет ли матрица A обратную:

1) ;      2) ;     3) .

Упражнение 5.3. Найти матрицы, обратные к данным, методом алгебраических дополнений.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6)

Упражнение 5.4. Найти матрицы, обратные к данным, методом Гаусса.

1) ;

2) ;

3)

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Упражнение 5.5. Решить матричные уравнения:

1) ;             2) ;

3) ;                4) ;

5) ; 6) ;

7) .

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?