Операции над множествами и их свойства.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 3Следующая ⇒

План лекции:

1)

2)

3) Разность множеств.

4) Симметрическая разность.

5) Дополнение множеств.

6) Декартово (прямое) произведение двух множеств.

Операции пересечения и объединения множеств обладают свойствами:

1° Коммутативность пересечения

"А, В                 А Ç В = В Ç А

2° Коммутативность объединения

"А, В                 А È В = В È А

3º Ассоциативность пересечения

"А, В, С             (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С)

4º Ассоциативность объединения

"А, В, С             (А È В) È С = А È (В È С)

5º Пересечение дистрибутивно относительно объединения

"А, В, С             А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)

6º Объединение дистрибутивно относительно пересечения

"А, В, С             А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)

7º "А    А Ç А = А

8º "А    А È А = А

3. Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Обозначают А \ В; А – В.

А \ В = { х| хÎА и хÏВ }

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 3).

Операция, при помощи которой находят разность множеств, называется вычитанием.

Пример.

1) А={1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А \ В = {1, 2, 3}

4. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих только множеству А или только множеству В.

Симметрическую разность множеств А и В обозначают: А ∆ В; А – В.

А ∆ В = { х| хÎА, хÏВ или хÏА, хÎВ}

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то симметрическая разность данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 4).

А ∆ В = (А \ В) È (В\ А)

А ∆ В = (А È В) \ (А Ç В)

5. Универсальным множеством U (основным множеством) называется множество, для которого все множества, рассматриваемые в данный момент, являются подмножествами.

Универсальное множество часто изображают прямоугольником.

Например, для N универсальным считается множество Z.

Дополнением множества А называется разность между универсальным множеством и множеством А.

Дополнение множества А обозначают .

= U \ A = {хÏА}

При помощи кругов Эйлера дополнение изображается рис. 5.

 È А = U                         = Æ

 Ç А = Æ                        = U

Пример.

1) А = {2k}; U = Z ®  = Z \A = {2k+1}.

Операции разности и дополнения множеств обладают свойствами:

9º Разность антидистрибутивна относительно пересечения. "А, В, С

А \ (В Ç С) = (А \ B) È (A \ C)

10º Разность антидистрибутивна относительно объединения. "А, В, С

А \ (В È С) = (А \ B) Ç (A \ C)

11º (частный сл. 9º) Дополнение пересечения А и В равно объединению дополнений А и В.

12º (частный сл. 10º) Дополнение объединения А и В равно пересечению дополнений А и В.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры