Тема: Векторы в пространстве. Простейшие задачи в координатах.. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

Тема: Векторы в пространстве

Цели урока:

Обучающая:выявить связи геометрии с различными областями человеческих знаний (в частности, на примере решения задач с практическим применением); систематизировать и расширить знания обучающихся о векторах, развить навыки использования векторов в математике и ее приложениях

Развивающая: развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию; интерес к предмету; творческие способности учащихся.

Воспитывающая: воспитывать взаимопомощь у учащихся через работу в группах; уважение к мнению других.

Простейшие задачи в координатах.

1.Дан вектор  = (15,20). Найти | | =?

2.Определи длину данных векторов, если известны их координаты. (Если это необходимо, ответ округли до десятых.)

3.Заданы векторы . Найти координаты вектора

4.Вектор . Найти координаты вектора .

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

Напомним определение перпендикулярных векторов на плоскости и в трехмерном пространстве.

Определение.

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам ( радиан).

Какие же мысли навевает это определение, когда нужно узнать, перпендикулярны два изображенных вектора или нет?

Если от некоторой точки плоскости отложить векторы равные заданным векторам, то с помощью транспортира можно измерить угол между ними. Это позволит с некоторой степенью точности установить перпендикулярность векторов (если при измерении получили угол девяносто градусов). При этом конечно же следует учитывать точность построения и точность измерения. Такой метод для определения перпендикулярности двух векторов следует использовать только тогда, когда мы ничего не знаем об этих векторах, а имеем только их изображение на плоскости.

На практике часто приходится доказывать перпендикулярность двух ненулевых векторов, когда известны их координаты в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этом случае используется необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство .

Для двух векторов с заданными координатами и на плоскости справедливо равенство , а для двух векторов и в пространстве . Таким образом, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид на плоскости, а в трехмерном пространстве .

Перпендикулярны ли векторы .

Решение.

Вычислим их скалярное произведение по координатам . Следовательно, условие перпендикулярности двух векторов на плоскости выполнено, то есть, они перпендикулярны.

Ответ:

да, векторы перпендикулярны.

Пример.

Перпендикулярны ли векторы и , где - координатные векторы прямоугольной системы координат в трехмерном пространстве.

Решение.

Векторы и имеют соответственно координаты и (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат). Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов:

Так как , то векторы и не перпендикулярны.

Ответ:

нет, не перпендикулярны.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США