Погрешности чисел с плавающей запятой

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Целое число N не имеет погрешности в формате с плавающей запятой, если
1. оно не выходит из диапазона представимости, например, в рассмотренном выше 32-разрядном формате должно быть N < 10³⁸ ;
2. в дробной части двоичной записи нормализованного числа номер самого младшего разряда, содержащего единицу, меньше или равен числу разрядов в мантиссе. Например, N=2³³ представляется точно, а N=2³³ -1 имеет погрешность.

Теория погрешностей вычислений в формате с плавающей запятой очень сложна. Ниже приводятся лишь некоторые примеры возникновения таких погрешностей.

Погрешность возникает при записи в память чисел, значащая часть которых имеет количество цифр, превышающее размер мантиссы, а также при сохранении вещественных чисел, дробная часть которых в двоичном представлении имеет вид бесконечной дроби. Может показаться неожиданным, что 0,1 (одна десятая) не может быть представлена точно в формате с плавающей запятой, а 0,25 – представима. Погрешность возникает при представлении дробей, знаменатель которых содержит простые множители, отличные от двух, например:

Точно в формате с плавающей запятой представляется число, модуль которого можно записать в виде следующей несократимой дроби:

Посмотрим, как можно оценить погрешность представления числа N в формате с плавающей запятой. Для простоты рассмотрим пример, в котором мантисса в формате с плавающей запятой имеет 6 двоичных разрядов (формат 12 битов: 1 бит – знак числа, 5 битов – порядок, 6 битов – мантисса), а N=1045.

Получим результат прямым переводом N в двоичную систему счисления:

1|1|0|0

0|0|0|0|0|1

0 1 0 1

+

5 6

остаток

В ячейку памяти поместилось число 1.000001₂*2¹⁰.^. Переведём сохраненное число в десятичную систему счисления: это будет 1040. Погрешность составляет 1045 – 1040 = 5.

В данном формате с плавающей запятой точно представлены только 6 старших разрядов мантиссы, и ещё один бит не сохраняется, он имеется в каждом числе по умолчанию, итого чтобы число сохранялось точно, оно должно иметь не более 7 цифр в значащей части.

Погрешности возникают и при арифметических операциях над числами с плавающей запятой. Сложив на ЭВМ 8-значное целое десятичное число N с единицей, используя 32-разрядный двоичный формат с плавающей запятой, получим

так как восьмая, младшая цифра числа N не попадает в мантиссу.

Чтобы проще представить исчезновение единицы при сложении, рассмотрим вместо записи в двоичной системе счисления пример с десятичными числами, представленными в полулогорифмической форме с 7-разрядной мантиссой:

N и N+1 в полулогарифмической форме с семью знаками выглядят одинаково, так как погрешность превышает величину изменения числа. При сложении чисел в форме с плавающей запятой может нарушаться сочетательный (ассоциативный) закон:

Примеры сложения чисел в 32-разрядном двоичном формате с плавающей запятой из-за большого количества разрядов теряют свою наглядность, поэтому рассмотрим сложение чисел 1040 и 1 в приведенном выше 12-битном формате с 6-битной мантиссой. Число 1040 точно представимо в данном формате. Его представление было рассмотрено выше: 1040 = 10000010000₂ = 1.000001₂*2¹⁰, число 1 будет представлено следующим образом: 1 = 1.000000*10⁰ (хранимая мантисса = 0, порядок = 0, смещенный порядок = 15). Для выполнения сложения нужно привести слагаемые к одному порядку, для этого надо сдвинуть вправо мантиссу меньшего по модулю слагаемого на число разрядов, равное разности порядков складываемых чисел. В нашем примере нужно сдвинуть мантиссу единицы на 10-0=10 разрядов

1045    

1|1|0|0

0|0|0|0|0|1

1    

1|1|0|0

0|0|0|0|0|0

0 0 0 1

Происходит потеря значащей части меньшего слагаемого. В результате сложения получим 1,000001*2¹⁰ = 1040

В первом приближении можно считать, что если

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии