Задания отборочного этапа математического соревнования

Задания отборочного этапа математического соревнования

«Кубок города Красноярска – 2022»

9-11 класс

1)Петя очень хочет играть в компьютерную игру, однако его старший брат не разрешит ему включить компьютер, пока Петя не получит из числа  за конечное число ходов число  с помощью двух разрешенных ходов: умножения на  и стирания любой цифры числа. Сможет ли Петя поиграть в игру?

2) Известно, что  — многочлен четвёртой степени с целыми коэффициентами, причем его старший коэффициент положителен и . При каких значениях  многочлен  принимает наименьшее значение?

3) В учебнике по математике три главы. Каждая глава начинается с новой странице, сразу же после завершения предыдущей. Первая глава начинается на первой странице учебника, а третья глава заканчивается на последней странице учебника. Оказалось, что для нумерации страниц, занимаемых каждой из трёх глав, используется одно и тоже количество цифр. Найдите наименьшее число страниц, которое может быть учебнике, если известно, что на странице с номеромодиннадцатьизображен портрет Пифагора?

4) В равнобедренном треугольнике  ( ) проведена высота . С центром в вершине  построена окружность, радиус которой меньше . Из точек и к окружности проведены касательные  и  так, что точки касания  и расположены по одну сторону от прямой . Докажите, что точки ,  и  лежат на одной прямой.

5) Найдите такое натуральное число , для которого справедливо двойное неравенство

6) Известно, что если на координатной плоскости отмечена точка , то можно также отметить точки  и ; если отмечены точки  и , то можно отметить точку . Можно ли когда-нибудь отметить точку на прямой ?

1) Например, так:

Ответ.Сможет.

2) Пусть . Тогда

Числа вида  и  при целых , , ,  могут быть равны только, если . Значит, , откуда , то есть  и можно сказать, что , где . При этом , значит, достигает минимума при , а  — при .

Ответ. .

3)Пусть в учебнике  страниц. Последнее условие задачи означает, что . Так как для нумерации страниц, занимаемых каждой из трёх глав, потребовалось одинаковое количество цифр, тообщее число цифр кратно трём. Если , то для нумерации страниц понадобилось цифр. Поскольку  всегда нечётное, то для нумерации страниц каждой главы потребовалось нечётное число цифр, и поэтому ни одна изглав не может начинаться на странице с двузначным номером. Тогда третья глава начинается не позже, чем на  странице, и заканчивается не раньше, чем на  странице, а значит, для нумерации страниц третьей главы понадобилось не менее цифр. Но в таком случае на первые две главы будет выделено не более  страниц, и для нумерации страниц хотя бы одной из них понадобится не более  цифр, что противоречит условию.

Если , то для нумерации страниц понадобилось  цифр. Тогда для нумерации страниц каждой главы понадобится  цифр. Если первая глава оканчивается на странице с однозначным номером, то , что невозможно, а если перваяглава оканчивается на странице с трёхзначным номером, то , откуда .

Рассмотрим случай, когда первая глава оканчивается на странице с двузначным номером . Тогда , откуда , а поскольку , то . Если вторая глава оканчивается на странице с двузначным номером , то , что невозможно в силу нечётности числа . Значит, вторая глава оканчивается на странице с трёхзначным номером , и поэтому , откуда . Значит  — чётное и не кратно , то есть . Если , то  и . Данная ситуация удовлетворяет условиям задачи, и для нумерации страниц каждой главы в таком случае понадобится по  цифр.

Ответ. .

4) Треугольники  и  — прямоугольные (радиус проведён в точку касания), имеют равные гипотенузы ( ) и равные катеты . Тогда они равны, и . Окружность с диаметром  проходит через точки  и , поскольку углы  и  — прямые. Тогда , как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Аналогично, окружность с диаметром  проходит через точки  и , следовательно, . Из трёх доказанных равенств следует равенство углов . Так как точки  и  лежат в одной полуплоскости по отношению к прямой , это означает совпадение лучей  и . Утверждение доказано.

5) Пусть . Заметим, что для любого натурального числа выполняются равенства

Отсюда

Сложим все  двойных неравенств и получим

Оценим левую часть и полученного двойного неравенства. Так как , а , имеем . Значит, , откуда .

Ответ. .

6) Условие этой задачи неполное (должны были быть даны координаты начальных точек), но задача всё еще корректная. Например, если взять начальную точку (0, 0), то она уже лежит на нужной прямой.

Ответ.Да.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США