Задания отборочного этапа математического соревнования

Задания отборочного этапа математического соревнования

«Кубок города Красноярска – 2022»

7-8 класс

1) На семь шахматных фигурок: ферзь, две ладьи, два коня и два слона, как-то наклеили номера , , , , , , , а затем их расставили на шахматной доске  так, что фигурка  бьёт только фигурку , фигурка  бьёт только фигурку , , фигурка  бьёт только фигурку . Приведите пример такой расстановки.

2) Про действительные числа , , , ,  известно, что

Докажите, что среди чисел , ,  найдется одно, которое равно сумме двух других чисел.

3) У Коли есть четыре карточки с числами , ,  и  и три карточки со знаками действий  (прибавить),  (умножить) и  (разделить). Коля хочет выложить их в ряд так, чтобы получился правильный пример (то есть между числами были знаки действий и не было деления на ; при этом результат вычисления не обязан быть целым). Сколько разных примеров может выложить Коля?

4) Пусть  – четыре последовательных натуральных числа. Известно, что произведение  заканчивается на комбинацию из трёх цифр . Какие значения могут принимать  и ? Приведите все варианты и докажите, что других нет.

5) В остроугольном треугольнике  проведена высота . Оказалось, что . Докажите, что .

6) На клетчатой бумаге с размером клетки  нарисован квадрат , в котором некоторые белые клетки закрасили чёрным цветом так, что в любом уголке из трёх клеток (см. рисунок) найдется белая клетка. Докажите, что существует такое разрезание нарисованного квадрата на доминошки (прямоугольники ) так, что в каждой доминошке будет хотя бы одна белая клетка.

1) Например так, как на рисунке: ферзь  бьёт слона , который бьёт ладью , которая бьёт слона , который бьёт коня , который бьёт ладью , которая бьёт коня , который бьёт ферзя.

2) Из равенств в условии следует, что , , . Следовательно,

Тогда , откуда получаем, что , что и требовалось доказать.

3) В каждом примере чередуется знаки и числа, начинаем с нуля. Наметим  места для чисел и  – для знаков и сначала расставим знаки, а потом – числа. Знак  можно поставить на любое из трёх мест, знак  – на любое из двух оставшихся, знак  – на единственное оставшееся. Итого  расстановок. Теперь расставим числа.  можно поставить на любое место, кроме места за знаком деления (  варианта),  – на любое из  оставшихся,  – на любое из двух оставшихся,  – на последнее оставшееся. Всего получаем  примеров. 

Ответ.  примеров.

4) Из условия ясно, что в задаче речь идет про четыре последовательных нечетных числа. Среди любых пяти последовательных нечётных чисел есть кратное , а среди перемножаемых четырёх такого числа нет, так как по признаку делимости на  их произведение на  нацело не делится. Значит, предыдущее нечётное число (не попавшее в произведение оканчивалось цифрой ), а перемноженные числа имеют вид , ,  и . Вычислим их произведение:

где . Заметим, что  кратно , а тогда число  кратно , то есть его десятичная запись оканчивается на три нуля. Значит, последние три цифры произведения – ,  и .

Ответ. , .

5) Отметим точку  на продолжении стороны  за точку  так, что . Тогда в равнобедренном треугольнике  внешний угол при вершине  равен сумме двух равных углов при основании , поэтому . Также равнобедренным является треугольник , поскольку отрезок
является его высотой и медианой одновременно ( ). Тогда  – его углы при основании. Итак, , что и требовалось.

6) Разрежем доску на квадраты  – это легко сделать, так как сторона квадрата содержит чётное число клеток. Заметим, что в каждом таком квадрате есть хотя бы  незакрашенные клетки: если бы такая клетка была одна, то, удалив её, мы бы получили уголок без закрашенных клеток. Если эти  незакрашенные клетки имеют общую сторону, разрежем квадрат по прямой, проходящей по этой стороне; в противном случае разрежем по любой из двух средних линий. В обоих случаях в каждой из разрезанных частей будет по незакрашенной клетке. Так поступим с каждым из квадратов . Разрезание получено.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности