Свойства алгоритмов………………………………………………………….

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Реферат

На тему: современные алгоритмы компьютерной математики

Проверил: Догаткин В.Н 

Выполнил : Гладков С.Ю

Казань 2017

Ведение :

1.Введение………………………………………………………………………..

2 История создания СКМ………………………………………………………..

3. Свойства алгоритмов………………………………………………………….

4. Возможности пакета MATLAB……………………………………………...

5.Заключение……………………………………………………………………..

6.Литература ……………………………………………………………………..

Введение

Появление компьютеров изменило все сферы современной науки и общественной, и даже личной, жизни. Появилась возможность проводить сложнейшие вычислительные эксперименты, что экономит не только деньги, но и время. Последнее обстоятельство особенно важно для научных работников, педагогов и студентов. Однако в нашей стране именно в области образования применение современных компьютерных методов и систем оставляет желать лучшего. Частично это связано с объективными причинами (дороговизна оборудования, программных продуктов и т. д.), однако очень часто и с субъективными — нежеланием что-либо менять, поскольку наше образование и так «самое лучшее в мире».[1]

Между тем появление современных систем компьютерной математики позволяет, не отказываясь от принципов фундаментальности классического образования, качественно изменить подходы и методы изложения материала, сделать его более наглядным и доступным, а следовательно, более интересным и привлекательным для основной массы обучающихся.

Сегодня нечасто вспоминают о том, что компьютеры были созданы в первую очередь для проведения научных расчетов.

Научное программное обеспечение и математические пакеты играют важную роль в современном естествознании и технике. Такие пакеты как Axiom, Derive, Maсsyma, Maple, MatLab, MathCAD, Mathematica широко распространились в университетах, исследовательских центрах и компаниях развитых стран.[4] Владение одним или несколькими математическими пакетами и регулярное использование их в работе будь то исследовательская или преподавательская задача быстро становится нормой для специалиста. Об этом можно судить по росту числа журнальных и книжных публикаций, освещающих применения данных пакетов для решения разнообразных проблем.

Очень скоро начали доминировать приложения к задачам управления. Однако научные приложения остаются наиболее важными, особенно если взглянуть на требуемую производительность компьютера: наиболее мощные компьютеры обычно предназначаются для научных исследований.

История создания СКМ

Первый этап – компьютер, оправдывая свое название (в переводе с англ. "вычислитель"), работал как мощный программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически (по веденной программе) выполнять сложные и громоздкие арифметические и логические операции над числами.

Успехи вычислительной математики и постоянно совершенствующиеся численные методы позволяют решить таким способом любую математическую задачу применительно к любой отрасли знаний. Важно отметить, что результат вычислений при этом представляется одним конечным числом в арифметическом виде, то есть при помощи десятичных цифр. Иногда результат представляется множеством (массивом, матрицей) таких чисел, но существо представления от этого не меняется – результат в виде конечного десятичного арифметического числа.

Однако такой результат часто не удовлетворял профессиональных математиков, и вот почему. Подавляющее большинство результатов нетривиальных математических вычислений в классической математике традиционно записывается в символьной форме: с использованием специальных общеизвестных чисел: , , , а иррациональные значения – с помощью радикала. Считается, что в противном случае имеет место принципиальная потеря точности.

Другой классический пример, вызывающий замечание математика – выражение, знакомое любому школьнику:

всегда равное единице; а в компьютере либо будет предпринята попытка вычислить это выражение (с неизбежными ошибками округления), либо будет выдано сообщение о неопределенности аргумента Х и всякие дальнейшие действия будут прекращены.

На этом первый этап завершился...

Естественно, вслед за стремительным совершенствованием компьютерных систем человеку в компьютерных расчетах захотелось большего: почему бы не заставить компьютер выполнять преобразования традиционными для математики способами (дробно-рациональные преобразования, подстановки, упрощения, решение уравнений, дифференцирование и т.п.).

Их принято называть преобразованиями в символьном виде или аналитическими преобразованиями, а результат получать не как раньше – в виде одного числа, а в виде формулы.

К этому моменту практически все области человеческой деятельности оказались охваченными каждая своим собственным математическим аппаратом и обзавелись собственными пакетами прикладного программного обеспечения (ППО). При этом всем понадобился универсальный математический инструмент, ориентированный на широкий круг пользователей, которые не являются ни профессионалами в математике, ни программистами, воспитанными на узкоспециальных, малопонятных большинству конечных пользователей компьютерных языках.

Это привело к созданию компьютерных систем символьной математики, рассчитанных на широкие круги пользователей – непрофессионалов в математике. Так началась с середины 60-х годов ХХ века эра систем компьютерной математики (СКМ), по-английски CAS – Сomputer algebra system.

В конце 60-х годов в России на отечественных ЭВМ серии "Мир", разработанных под руководством академика В. Глушкова, была реализована СКМ на языке программирования "Аналитик", обладающая всеми возможностями символьных вычислений, впрочем, с весьма скромными, по нынешним понятиям, характеристиками.

Конечно, даже самые простые неинтеллектуальные компьютерные математические справочники представляют большой практический интерес – ведь ни один самый способный человек не в состоянии вместить в своей голове все математические законы и правила, созданные за многовековую историю человечества.

Свойства алгоритмов

Данное выше определение алгоритма нельзя считать строгим — не вполне ясно, что такое «точное предписание» или «последовательность действий, обеспечивающая получение требуемого результата». Поэтому обычно формулируют несколько общих свойств алгоритмов, позволяющих отличать алгоритмы от других инструкций.

Такими свойствами являются:

· Дискретность (прерывность, раздельность) — алгоритм должен представлять процесс решения задачи как последовательное выполнение простых (или ранее определенных) шагов. Каждое действие, предусмотренное алгоритмом, исполняется только после того, как закончилось исполнение предыдущего.

· Определенность — каждое правило алгоритма должно быть четким, однозначным и не оставлять места для произвола. Благодаря этому свойству выполнение алгоритма носит механический характер и не требует никаких дополнительных указаний или сведений о решаемой задаче.

· Результативность (конечность) — алгоритм должен приводить к решению задачи за конечное число шагов.

· Массовость — алгоритм решения задачи разрабатывается в общем виде, то есть, он должен быть применим для некоторого класса задач, различающихся только исходными данными. При этом исходные данные могут выбираться из некоторой области, которая называется областью применимости алгоритма.

Системы компьютерной математики, их структура, задачи и основные характеристики Одним из приоритетных направлений развития экономики и образования в современном мире является применение компьютерных технологий. Учет этого объективного фактора требует от ВУЗов обучать и выпускать руководителей высшего, среднего и низшего звена, знакомых с компьютерными технологиями решения задач во всех сферах экономики, а также в международном бизнесе. В свою очередь от преподавателей ВУЗов сегодня требуется не только умение обучать с использованием классических форм преподавания, но также создавать и осваивать новые способы изучения предметов с применением компьютеров и компьютерных технологий.

Компьютерная математика – это новое направление в математике, появившееся на пересечении классической математики и информатики. Оно возникло на рубеже нового столетия и связано с успехами внедрения персональных компьютеров (ПК) в практику решения математических задач. Главным средством компьютерной математики стали системы компьютерной математики (СКМ). Они дают возможность использовать математические методы без процедуры программирования и тем самым создают любому бухгалтеру, банковскому служащему, экономисту-аналитику удобную для их работы среду. Признанными мировыми лидерами из числа универсальных математических систем являются пять: Derive (Corp. Texas Instruments Ins.,USA), Maple (Corp.MapleSoft, Canada), Mathcad (MathSoft Ins.,USA), Mathematica (Wolfram Research Ins., USA), Matlab (Mathworks Ins., USA). Общими признаками систем этого класса считаются:

1) объединение аналитических и численных методов вычислений; 2) использование языков высокого уровня;

 3) визуализация результатов вычислений;

4) возможность обмена информацией между собой с помощью различных форматов. Следует заметить, что все они совместимы с операционными системами Windows , широко используемыми в банковском деле, бухгалтерии и других отраслях экономики. По своему содержанию СКМ – это особый вид программ, реализуемых на ПК и предназначенных для решения широкого круга математических задач. Принципиальная структурная схема СКМ приведена на рис. 1. Основу системы компьютерной математики составляет представительный набор базовых функций и алгоритмов, так называемых встроенных функций, образующих ЯДРО системы. С помощью подготовленных программ осуществляются быстрые вычисления всех функций ядра. Количество встроенных функций в ядре системы компьютерной математики может составлять от нескольких сотен (Derive 6) до нескольких тысяч (Maple, Mathematica), что отображено на диаграмме 1.1.

Рис. 1. Принципиальная структурная схема универсальных СКМ Для вычислений редких функций и процедур вне ядра создаются БИБЛИОТЕКИ. Наращивание вычислительных возможностей системы достигается также за счет ПАКЕТОВ РАСШИРЕНИЯ. Такие пакеты может писать сам пользователь на языке программирования системы компьютерной математики, что обеспечивает большую адаптацию системы к решаемым задачам. ИНТЕРФЕЙС современных СКМ обычно базируется на операционной системе WINDOWS и, следовательно, является типичным для Windows-приложений. Любая из существующих СКМ содержит в своем составе в большей или меньшей степени огромный математический аппарат и объем знаний в области математики. Поэтому такие системы могут не только обеспечить решение прикладных задач, но и могут служить практически неисчерпаемой и быстро доступной библиотекой математических знаний, накопленных за многие века. В области высшей математики СКМ решают следующие основные задачи: Раздел 1. Математический анализ: · вычисление пределов функций; · дифференцирование выражений; · поиск экстремумов функций; · интегрирование функций; · решение дифференциальных уравнений; · вычисление сумм и произведений рядов; · разложение функций в ряд Тейлора и др. Раздел 2. Линейная алгебра: · решение систем линейных уравнений; · выполнение операций с векторами и матрицами; · вычисление собственных значений и собственных векторов матриц; · решение задач линейного программирования и др. Раздел 3. Аналитическая геометрия: · вычисление элементов треугольника; · определение уравнений плоскостей в трехмерном пространстве · кривые второго порядка. Раздел 4. финансовая математика: · разовые платежи; · поток платежей. Кроме задач перечисленных разделов СКМ решают также основные задачи аналитической геометрии, теории вероятностей и математической статистики и др.. Современные универсальные СКМ во всем мире получили широкое применение, прежде всего в образовании и науке. В сфере образования применение СКМ способствует повышению фундаментальности математического образования и сближению отечественной системы образования с западной. Современные версии основных систем компьютерной математики, их разработчики, а также сложившиеся к настоящему времени оценки применения этих систем в образовании и науке представлены в таблице 1. Таблица 1. Системы компьютерной математики Фирма разработчик Применение в образовании и науке Derive 6 Texas Instruments, Dallas,USA Изучение математики на первых курсах ВУЗов нематематического профиля, а также в школах. Система достаточно простая в изучении, надёжная и дешевая. Maple 10 Waterloo Maple Ins., Canada Университетское образование и научные исследования. Уникальное ядро символьных вычислений. Развитая графика и средства форматирования. Mathematika 5.1 Wolfram Высшее образование и научные исследования. Содержит методы теории графов, линейного программирования и др. Уникальная трехмерная графика. MathCAD 13 MathSoft Универсальное применение и высокая популярность. Подготовка научных отчётов, книг и других документов. MatLAB 7.1 MathWork Университетское образование с техническим уклоном. Научные исследования с численным моделированием. Развитые матричные средства. На диаграмме 1.2 приведены ёмкостные характеристики современных систем компьютерной математики.

 Диаграмма 1.2

2. Компьютерная графика как новое средство визуализации математических понятий Системы компьютерной математики решают также задачи графической визуализации результатов вычислений, в том числе построение: · графиков функций в декартовой, полярной системе координат и графиков функций в параметрической форме; · графиков трехмерных поверхностей; · контурных, векторных и других специальных графиков; · анимированных графиков с их воспроизведением. Графика систем СКМ является новым и достаточно эффективным средством визуализации математических понятий, что способствует их лучшему восприятию и усвоению. Эффект и новизна компьютерной визуализации основаны на способности СКМ мгновенно формировать график функции. После ввода функции и выдачи соответствующей команды СКМ немедленно строит график функции. Это свойство СКМ позволяет при изучении функций произвольно изменять любой параметр отображаемой функции и одновременно наблюдать, как это сказалось на графике функции. График функции одной переменной и графики ее первой и второй производных на одном экране позволяют понять качественную связь между ними, в том числе условия существования точек экстремума и точек перегиба, условия возрастания и убывания функции и др. На рис. 2. связь функции, и ее первых двух производных показана на примере простейшей функции y = x3. Графики функции, и ее первой и второй производной обозначены соответственно – 0;1;2.

Рис. 2. Графики: функции (0), ее первой (1) и второй (2) производной Компьютерная графика является незаменимым дополнительным средством для визуализации и усвоения понятия сходимости степенных рядов. Удерживая в разложении функции в ряд Тейлора различное количество членов и создавая одновременно на экране графики таких выражений, можно наглядно видеть степень близости различных разложений к самой функции. На рис. 3 приведены графики функции sinx и ее разложений в ряд Маклорена с удержанием одного – x, двух – ( x – x3 /6 ) и трех членов – ( x – x3/ 6 + x5/ 120 ). Графики на рисунке обозначены соответственно– 0, 1, 2, 3. Для иллюстрации сходимости ряда выбран диапазон изменения x от –4 до +4, т.е. близко к основному периоду функции.

Рис. 3. Графики функции sinx и ее разложений в ряд Маклорена Из рисунка видно, как с увеличением количества членов в разложении и уменьшением значений аргумента графики разложений приближаются к графику исходной функции. Большие трудности при изучении функций двух переменных вызывает наглядное представление сложных трехмерных поверхностей. Система Derive решает и эту задачу, создавая наглядный пространственный образ математических выражений с двумя переменными. При этом свойство системы вращать график и фиксировать его произвольное положение позволяет всесторонне и детально изучить закономерность, описываемую функцией. 3. Математический практикум на основе системы Derive В системе изучения высшей математики в Академии практикум по математике на основе системы Derive может рассматриваться как завершающий этап обучения после традиционного изучения основных дисциплин: «Линейной алгебры», «Математического анализа», «Аналитической геометрии» и «Финансовой математики». Основными целями проведения практикума являются: 1.Овладение студентами основами компьютерных технологий решения основных задач линейной алгебры и математического анализа. 2.Углубление и расширение знаний математических методов этих дисциплин, повышение фундаментальности математического образования. 3.Приобретение навыков экономических исследований с использованием методов высшей математики и возможностей компьютерной системы Derive. Кроме отмеченных выше, цель практикума состоит также в том, чтобы научиться решать задачи математики не «вручную» на бумаге, как это было в прошлом, а с использованием современного интеллектуального технического средства – компьютера. Выбор системы Derive для проведения практикума обусловлен следующими соображениями. Во-первых, из всех известных и широко используемых в настоящее время универсальных математических систем, например,Maple, Mathcad, Matlab и др. система Derive является самой малой и одновременно уникальной системой, способной эффективно решать разнообразные математические задачи с высокой достоверностью и корректностью. Во-вторых, в области образования Derive считается наиболее простой в освоении и самой популярной системой начального уровня математического образования с ориентацией на студентов первых курсов ВУЗов и школьников. В-третьих, система Derive не требует от компьютера сколько-нибудь значительных ресурсов и может быть установлена на любом современном компьютере. Прохождение практикума предполагает чтение лекций и практику решения задач в компьютерных классах с использованием последней версии системы Derive 6 и отдельного приложения с вариантами индивидуальных заданий для студентов. Полученный опыт проведения такого практикума на факультете бизнеса и делового администрирования показывает, что необходимый объем аудиторных занятий укладывается в одном учебном модуле: 16 часов лекций и 36 часов практических занятий в компьютерных классах (18 занятий по 2 часа каждое). Таким образом, всего 52 часа. Наблюдение за студентами во время проведения практикума свидетельствует о появлении у них повышенного интереса к изучению профессио­нально-ориентированной математики. Практикум на основе Derive 6 позволяет студентам решать задачи большой размерности, помогает им развить геометрическое воображение, освобождает много времени, которое можно потратить на решение собственно экономических проблем.

Возможности пакета MATLAB

MATLAB - это высокопроизводительный язык для технических расчетов. Он включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в удобной среде, где задачи и решения выражаются в форме, близкой к математической. Типичное использование MATLAB - это:

· математические вычисления

· создание алгоритмов

· моделирование

· анализ данных, исследования и визуализация

· научная и инженерная графика

· разработка приложений, включая создание графического интерфейса

MATLAB - это интерактивная система, в которой основным элементом данных является массив. Это позволяет решать различные задачи, связанные с техническими вычислениями, особенно в которых используются матрицы и вектора, в несколько раз быстрее, чем при написании программ с использованием "скалярных" языков программирования, таких как Си или Фортран.

MATLAB развивался в течении нескольких лет, ориентируясь на различных пользователей. В университетской среде, он представлял собой стандартный инструмент для работы в различных областях математики, машиностроении и науки. В промышленности, MATLAB - это инструмент для высокопродуктивных исследований, разработок и анализа данных.

В MATLAB важная роль отводится специализированным группам программ, называемых toolboxes. Они очень важны для большинства пользователей MATLAB, так как позволяют изучать и применять специализированные методы. Toolboxes - это всесторонняя коллекция функций MATLAB (М-файлов), которые позволяют решать частные классы задач. Toolboxes применяются для обработки сигналов, систем контроля, нейронных сетей, нечеткой логики, вэйвлетов, моделирования и т.д.

Система MATLAB состоит из пяти основных частей.

Язык MATLAB. Это язык матриц и массивов высокого уровня с управлением потоками, функциями, структурами данных, вводом-выводом и особенностями объектно-ориентированного программирования.

Среда MATLAB . Это набор инструментов и приспособлений, с которыми работает пользователь или программист MATLAB. Она включает в себя средства для управления переменными в рабочем пространстве MATLAB, вводом и выводом данных, а также создания, контроля и отладки М-файлов и приложений MATLAB.

Управляемая графика . Это графическая система MATLAB, которая включает в себя команды высокого уровня для визуализации двух- и трехмерных данных, обработки изображений, анимации и иллюстрированной графики. Она также включает в себя команды низкого уровня, позволяющие полностью редактировать внешний вид графики, также как при создании Графического Пользовательского Интерфейса (GUI) для MATLAB приложений.

Библиотека математических функций . Это обширная коллекция вычислительных алгоритмов от элементарных функций, таких как сумма, синус, косинус, комплексная арифметика, до более сложных, таких как обращение матриц, нахождение собственных значений, функции Бесселя, быстрое преобразование Фурье.

Программный интерфейс . Это библиотека, которая позволяет писать программы на Си и Фортране, которые взаимодействуют с MATLAB. Она включает средства для вызова программ из MATLAB (динамическая связь), вызывая MATLAB как вычислительный инструмент и для чтения-записи МАТ-файлов.[3]

Simulink, сопутствующая MATLAB программа, - это интерактивная система для моделирования нелинейных динамических систем. Она представляет собой среду, управляемую мышью, которая позволяет моделировать процесс путем перетаскивания блоков диаграмм на экране и их манипуляцией. Simulink работает с линейными, нелинейными, непрерывными, дискретными, многомерными системами.

Blocksets - это дополнения к Simulink, которые обеспечивают библиотеки блоков для специализированных приложений, таких как связь, обработка сигналов, энергетические системы.

Real-Time Workshop - это программа, которая позволяет генерировать С код из блоков диаграмм и запускать их на выполнение на различных системах реального времени.

Пакет MATLAB представляет собой программное средство для выполнения математических расчетов на компьютере. Математика состоит из двух частей: Ядро(Kernel) и Оболочка (Front End). Ядро представляет собой программное обеспечение, непосредственно выполняющее расчеты, которое работает одинаково на всех типах компьютеров. Оболочка обеспечивает интерфейс между ядром и пользователем. В большинстве компьютерных систем используется интерфейс типа “Notebook”, который позволяет создавать документы, содержащие текст, графики, звуки и активные формулы или команды, обрабатываемые ядром. Такой документ можно читать на экране компьютера, редактируя и выполняя отдельные его части, сохранить на диске или распечатать на бумаге.

Основные элементы MATLAB:

· Численные расчеты.

o MATLAB может производить вычисления с любой точностью. Кроме того, MATLAB может производить расчеты с использованием большого числа специальных функций.

o Позволяет вычислять интегралы, численно решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы уравнения.

o Может обрабатывать численные данные, производя их статический анализ, а также производить Фурье-анализ, интерполяцию и аппроксимацию данных с помощью метода наименьших квадратов.

o Может работать не только с числами, но и с матрицами, обеспечивая выполнение всех операций линейной алгебры.

· Символьные вычисления.

o MATLAB позволяет производить манипулирование алгебраическими формулами, т.е. разлагать на множители, раскрывать скобки и производить упрощение полиномов и рациональных выражений. Также позволяет находить алгебраические решения полиномиальных уравнений и систем уравнений.

o Может вычислять интегралы и производные, решать дифференциальные уравнения в символьной форме.

o Может представлять функции в виде разложения в ряд, а также вычислять пределы.

· Графические средства.

o MATLAB может строить двумерные и трехмерные графики функций, заданных явно или в параметрической форме, а также контурные графики и графики плотности. Аналогично можно изображать и численные данные.

o В MATLAB существует много опций, позволяющие контролировать различные аспекты графиков. Например, для трехмерных графиков можно изменять цвет, тени, освещение и яркость поверхности и т.д.

o MATLAB включает графический язык, позволяющий изображать геометрические объекты, используя стандартные фигуры: многоугольники, окружности и их дуги и т.д., а также вставлять текст в любое место двумерного или трехмерного графического объекта.

· Программирование.

o Кроме встроенных функций, MATLAB позволяет определять дополнительные функции.

o MATLAB включает в себя такой мощный элемент, как правила преобразования, которые позволяют преобразовывать символьные выражения из одной формы в другую.

o MATLAB представляет собой язык программирования высокого уровня, на котором можно писать как малые, так и большие программы. Программы могут включать в себя обработку произвольных символьных данных [5].

o Таким образом система компьютерной алгебры MATLAB является программным средством для проведения фундаментальных и прикладных математических исследований широкого спектра проблем современного естествознания. В главе 4 решим конкретную задачу при помощи пакета MATLAB.

Заключение

В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем (Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования.[6] Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и в преподавании. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.

Конечным продуктом исследования выступают публикации, подготовка, распространение и использование которых в настоящее время требует квалифицированного применения компьютера. Это касается редактирования текста, изготовления графических материалов, ведения библиографии, размещения электронных версий в Интернет, поиска статей и их просмотра. Де-факто сейчас стандартными системами подготовки научно-технических публикаций являются различные реализации пакета TeX и текстовый редактор Word. Кроме того, необходимы минимальные знания о стандартных форматах файлов, конверторах, программах и утилитах, используемых при подготовке публикаций.

Математические пакеты Maple и MATLAB — интеллектуальные лидеры в своих классах и образцы, определяющие развитие компьютерной математики. Компьютерная алгебра Maple вошла составной частью в ряд современных пакетов, численный анализ от MATLAB и наборы инструментов (Toolboxes) уникальны. Сами пакеты постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы. Пакет Maple и вычислительная среда MATLAB — мощные и хорошо организованные системы, надежные и простые в работе. Освоение даже части их возможностей даст несомненный эффект, а по мере накопления опыта придет настоящая эффективность от взаимодействия с ними.[9]

В заключение, отметим, что пользователь пакетов компьютерной математики должен иметь представление об основных численных методах. Вообще говоря, появление современных вычислительных систем значительно облегчает доступ к компьютеру непрофессионалам в области программирования, и поддерживает постоянное стремление к их усовершенствованию и освоению новых компьютерных технологий.

Литература

• Дейкстра Э. Дисциплина программирования = A discipline of programming. — 1-е изд. — М.: Мир, 1978. — 275 с. — ISBN ???
• Бьярне Страуструп Программирование: принципы и практика использования C++, исправленное издание = Programming: Principles and Practice Using C++. — М.: «Вильямс», 2011. — С. 1248. — ISBN 978-5-8459-1705-8
• Александр Степанов, Пол Мак-Джонс Начала программирования = Elements of Programming (Hardcover). — М.: «Вильямс», 2011. — С. 272. — ISBN 978-5-8459-1708-9

• Роберт В. Себеста. Основные концепции языков программирования / Пер. с англ. — 5-е изд. — М.: Вильямс, 2001. — 672 с. — ISBN ???
• Иан Соммервилл. Инженерия программного обеспечения / Пер. с англ. — 6-е издание. — М.: Вильямс, 2002. — 624 с. — ISBN ???
• Иан Грэхем. Объектно-ориентированные методы. Принципы и практика / Пер. с англ. — 3-е издание. — М.: Вильямс, 2004. — 880 с. — ISBN ???

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров