Определители квадратных матриц. Теорема Крамера

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 2Следующая ⇒

4.1. Вычисление определителей. Определитель матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

                                 (4.1)

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3x3  (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

(4.2)

Минором элемента  ( )называется определитель матрицы, полученной из исходной путем вычеркивания в ней i-й строки и j-го столбца. Алгебраическое дополнение к элементу  - это число, вычисляемое по формуле: . С учетом этих обозначений (4.2) принимает вид

   .         (4.3)

Формулу (4.3) можно также обобщить на случай определителя любой квадратной матрицы A размера nxn (определителя n-го порядка):

.         (4.4)

Более того, определитель n-го порядка можно раскрывать по любой строке или любому столбцу исходной матрицы, т.е. справедливы формулы:

  ,             (4.5)

  ,        (4.6)

где i=1,2,…,n – номер строки, а  j=1,2,…,n – номер столбца, по которым раскрывается определитель.

Пример 4.1. Найти : а) ; б)

Решение. При нахождении определителя а) воспользуемся сначала формулой (4.2), а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой (4.1). При вычислении определителя б) удобно применить формулу (4.5) для i=2, т.е. раскрыть определитель по 2-й строке.

Для задания а) имеем:

При вычислении определителя б) полученный на промежуточном этапе определитель 3-го порядка также будем раскрывать по его 2-й строке

Пример 4.2. Найти  и  для матрицы .

Решение. Минор  - это определитель матрицы, полученной из исходной путем вычеркивания 3-й строки и 1-го столбца. Поэтому

Далее, ,  - это определитель матрицы, полученной из исходной путем вычеркивания 2-й строки и 3-го столбца. Поэтому

Замечание. При расчетах удобно использовать свойства определителей, в частности, следующие.

1) Определитель диагональной, а также верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2) Если в матрице две строки меняются местами, то ее определитель меняет знак.

3) Если к одной из строк матрицы прибавить другую, умноженную на число (отличное от нуля), то определитель не изменится.

4) Если в строке матрицы все элементы имеют общий множитель, то его выносят за знак определителя.

5) Если матрица содержит нулевую строку или равные (пропорциональные) строки, то ее определитель равен нулю.

6) Справедливо следующее преобразование:

Замечание. Аналогичные свойства справедливы для столбцов матрицы.

Пример 4.3. Вычислить: а) ; б) .

Решение. В случае а) в первой строке все числа кратны 2, поэтому общий множитель можно вынести за знак определителя. Далее будем проводить преобразования, цель которых – упростить определитель, получив в третьем столбце нулевые элементы ( , ). Поскольку в полученном определителе 2-я и 3-я строки окажутся равными, исходный определитель обратится в нуль: .

Для вычисления определителя б) приведем матрицу к верхнему треуголь-ному виду с помощью свойств 3), 2), 4), а затем воспользуемся свойством 1):

4.2. Теорема Крамера. Рассмотрим «квадратную» систему линейных уравнений (число неизвестных совпадает с числом уравнений) вида

.                       (4.7)

Матрица , составленная из коэффициентов системы (4.7), называется матрицей системы, а вектор  -столбцом (вектором) свободных членов.

Теорема 4.1 (теорема Крамера). Если определитель матрицы системы (4.7) отличен от нуля ( ), то данная система имеет единственное решение, причем значения неизвестных находятся по формулам

, i=1,2,…,n                                     (4.8)

где - определитель матрицы, полученной из исходной матрицы системы путем замены i-го столбца на столбец свободных членов.

Пример 4.5. Решить систему  методом Крамера.

Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов: , . Далее вычисляем определители:

;

;

;

.

По теореме 4.1 ; ; . Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: , , . Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте