Степенная функция. Дробно-линейная функция.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Степенная функция. Дробно-линейная функция.

Глоссарий по теме

Определение.Функция вида , где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Основная литература:

Теоретический материал

Определение.Функция вида у=хⁿ, где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

С некоторыми из таких функций вы уже познакомились в курсе алгебры 7-9 классов Это, например, функции у=х¹=х, у=х², у=х³. При произвольном натуральном n графики и свойства функции у=хⁿ аналогичны известным графикам и свойствам указанных функций.

Если показатель степени n — натуральное число, то степенная функция задаётся формулой y=xⁿ.

При n=1, y=x¹ или y=x — прямая (Рисунок 1).

Рисунок 1 – график функции y=x¹

При n=2, y=x² — парабола.

При n=3, y=x³ — кубическая парабола.

График степенной функции y=xⁿ, где n — чётное число (4,6,8...), принимает вид параболы.

Рисунок 2 – график функции y=xⁿ, где n — чётное число

График степенной функции y=xⁿ, где n — нечётное число (5,7,9...), принимает вид кубической параболы.

Рисунок 3 – график функции y=xⁿ, где n — нечётное число

Если показатель степени — целое отрицательное число, то степенная функция задаётся формулой y=x⁻ⁿ или y=1/xⁿ.

График степенной функции y=x⁻ⁿ, в случае, когда n — чётное число (4,6,8...), принимает вид:

Рисунок 4 – график функции y=x⁻ⁿ, при n — чётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x⁻⁴,y=x⁻⁸.

График степенной функции y=x⁻ⁿ, в случае, когда n — нечётное число (5,7,9...), принимает вид гиперболы:

Рисунок 5 – график функции y=x⁻ⁿ, при n — нечётное число

Например, такой вид принимают графики функций y=x⁻⁵,y=x⁻¹¹.

Функции такого вида называются дробно-линейными.

Рассмотрим графики степенных функций y=x^m/n с положительным дробным показателемm/n.

1. Степенная функция , где > неправильная дробь (числитель больше знаменателя).

График — ветвь параболы:

Рисунок 6 – , где

Свойства функции , где

1.D(f)=[0;+∞);

2.E(f)=[0;+∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, y_наим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

2. Степенная функция , где — правильная дробь (числитель меньше знаменателя).

Рисунок 7 - функция , где

Свойства функции , где

1.D(f)=[0;+∞);

2.E(f)=[0;+∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, y_наим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вверх;

8. непрерывна.

Рассмотрим степенные функции с отрицательным дробным показателемстепени

График — ветвь гиперболы.

Рисунок 8 - функция

График имеет горизонтальную асимптоту у=0 и вертикальную асимптоту х=0.

Свойства функции .

1.D(f)=(0;+∞);

2.E(f)=(0;+∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. убывает при x∈(0;+∞);

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вниз;

8. непрерывна.

Итак, на основании всего вышеперечисленного, можно сделать вывод в виде таблицы:

Таблица 1 - вывод

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология