Свойства равнобедренной трапеции.

Трапеция.

Определение.

Трапеция это четырехугольник,

у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

ВС и АD – основания (ВС || АD),

АВ и СD – боковые стороны.

Виды трапеции.

Определение.

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

Определение.

Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.

Свойства равнобедренной трапеции.

Свойство1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Дано: АВСD - трапеция ВС || АD, АВ = СD.

Доказать: А = D, В = С.

Доказательство:

1) Построим ВК АD и СМ АD.

2) Рассмотрим ВКА и СМD:

К = М =90⁰,

АВ = СD (по условию),

ВК = СМ (расстояние между ВС || АD), значит

 ВКА = СМD (по гипотенузе и катету).

3) А = D, АВК = DСМ (соответственные в равных треугольниках).

4) В = 90⁰ + АВК = 90⁰ + DСМ = С.

                                                 Ч.т.д.

Свойство 2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Дано: АВСD - трапеция ВС || АD, АВ = СD, АС и ВD - диагонали

Доказать: АС = ВD.

Доказательство:

1) Рассмотрим АВD и DСА:

АВ = СD (по условию)

АD – общая,

ВАD = СDА (при основании равнобедренной трапеции), значит

АВD = DСА (по двум сторонам и углу между ними).

2). АС = ВD (соответственные стороны в равных треугольниках).

                                                    Ч.т.д.

Признаки равнобедренной трапеции.

Признак 1.

 Если углы при основании трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

Дано: АВСD - трапеция ВС || АD, А = D, В = С.

Доказать: АВ = СD.

Доказательство:

1). Построим ВК АD и СМ АD.

2). Рассмотрим ВКА и СМD:

К = М =90⁰,

А = D (по условию),

ВК = СМ (расстояние между ВС || АD), значит

ВКА = СМD (по катету и противолежащему острому углу).

3). АВ = СD (соответственные в равных треугольниках)

                                                         Ч.т.д.

Признак 2.

 Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

Дано: АВСD - трапеция ВС || АD, АС = ВD.

Доказать: АВ = СD.

Доказательство:

1). Построим ВК АD и СМ АD.

2). Рассмотрим ВКD и СМА:

К = М =90⁰,

АС = ВD (по условию),

ВК = СМ (расстояние между ВС || АD), значит

ВКD = СМА (по гипотенузе и катету).

3). САМ = ВDК (соответственные в равных треугольниках)

4). Рассмотрим ВАD и СDА:

АС = ВD (по условию),

АD – общая, САМ = ВDК, значит

ВАD = СDА (по двум сторонам и углу между ними),

АВ = СD (соответственные в равных треугольниках)

                                           Ч.т.д.

Средняя линия трапеции.

Определение. Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям,

 а её длина равна полусумме длин оснований.

Дано: АВСD - трапеция

 ВС || АD,

МК – средняя линия.

Доказать: МК || ВС || АD,

МК = (ВС +АD).

Доказательство:

1). Продолжим ВК до пересечения с продолжением основания АD;

   ВК  АD = Р.

2). Рассмотрим КВС и КРD:

   СК = КD ( МК – средняя линия),

  1 = 2 ( вертикальные),

  3 = 4 ( накрест лежащие при ВС || АD и секущей СD, значит

  КВС = КРД (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

   ВК = КР, ВС = DР (соответственные стороны в равных треугольниках).

3). АМ = МВ, ВК = КР, значит МК – средняя линия в АВР, а следовательно                                                                                                           

МК || АD, но ВС || АD, т. е. МК || ВС;

МК = АР = (АD + DР) = (ВС +АD).                       

                                                    Ч. т. д.

Следствие. Отрезок, соединяющий точки пересечения средней линии

трапеции с её диагоналями, равен полуразности оснований.

Дано: АВСD - трапеция

 ВС || АD,

МК – средняя линия,

МК  АС = Р, МК  ВD = Т.

Доказать:

РТ = (АD - ВС).

                                   Доказательство:

1). МК || АD,АМ = МВ, значит ВТ = ТD ( по теореме Фалеса), значит

     МТ – средняя линия в АВD и МТ = АD.

2). МК || ВС, АМ = МВ, значит АР = РС ( по теореме Фалеса), значит

    МР – средняя линия в АВС и МР = ВС.

3). РТ = МТ – МР = АD - ВС = (АD - ВС).

                                                   Ч. т. д.

Прямоугольник.

Определение.

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника.

1. В прямоугольнике противоположные стороны равны.

2. В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3. Диагонали прямоугольника равны.

Дано: АВСD – прямоугольник.

Доказать: АС = ВD.

Доказательство:

1). Рассмотрим АВD и DСА:

АВ = СD(свойство прямоугольника),

АD – общая, ВАD = СDА = 90⁰,

значит АВD = DСА (по двум катетам).

АС = ВD  (соответственные стороны в равных треугольниках).

Ч.т.д.

Признак прямоугольника.

Теорема. Если в параллелограмме диагонали равны,

             то этот параллелограмм – прямоугольник.

Дано: АВСD – параллелограмм,

 АС = ВD.

Доказать: АВСD – прямоугольник.

Доказательство:

1). Рассмотрим АВD и DСА:

АВ = СD (свойство параллелограмма),

АD – общая,

АС = ВD ( по условию), значит АВD = DСА (по трём сторонам).

2). А = D (соответственные углы в равных треугольниках).

А = С, D = В (противоположные углы в параллелограмме),

значит А = С = D = В, но А + С + D + В = 360⁰,

следовательно А = С = D = В =90⁰, и АВСD – прямоугольник.

                                                       Ч.т.д.

Ромб.

Определение.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба.

1. В ромбе противоположные углы равны.

2. В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Дано: АВСD – ромб,

 АС, ВD - диагонали.

Доказать: АС  ВD, ВАС = DАС.

Доказательство:

1). Рассмотрим ВАD:

АВ = АD (по определению ромба),

АО = ОС (диагонали в ромбе точкой пересечения делятся пополам),

Значит ВО – медиана .

2). ВО – медиана, а значит высота и биссектриса в равнобедренном ВАD,

следовательно АС  ВD, ВАС = DАС.

                                                          Ч.т.д

Квадрат.

Определение.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата.

1. В квадрате все углы прямые.

2. В квадрате диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3. В квадрате диагонали равны.

4. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии