п.52 Сделать конспект и решить задачи.

п.52 Сделать конспект и решить задачи.

Свойства диагоналей параллелограмма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Диагональю параллелограмма называется отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелограмма.

Свойства диагоналей параллелограмма

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

АО=ОС; ВО=ОD

2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

Доказательство

Пусть AC и BD – диагонали параллелограмма ABCD.
Докажем, что .
Противоположные стороны параллелограмма равны , поэтому равенство, которое нужно доказать, можно записать в виде:
.

Самый простой способ – воспользоваться теоремой косинусов.
Из треугольника ABC:

Из треугольника BDC:

Сложим полученные равенства:

AB=CD, BC=AD (по свойству параллелограмма), тогда

(как односторонние углы при параллельных сторонах AB и CD), поэтому .

, что и требовалось доказать.

4. Площадь параллелограмма равна произведению длин диагоналей на синус угла между ними:

S=d₁d₂sinα

Примеры решения задач

Пример 3.

Пример 4. Диагонали параллелограмма d₁= , d₂= , а одна из сторон а=5. Найти длину другой стороны b.

Пример 5. Высота LE параллелограмма KLRS делит сторону KS на отрезки KE и ES. Найти периметр параллелограмма, если известно, что KL=2 см, ES=4 см и K=60°.

Пример 6. Одна из диагоналей параллелограмма разбивает его на два равносторонних треугольника со стороной а. Найдите длину другой диагонали.

Пример 7. Найдите диагональ AC параллелограмма АВСD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Пример 8. Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60^о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45^о. Найти вторую диагональ.

Пример 9. Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов