Краткие теоретические сведения

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 57

Тема: Операции над векторами в пространстве

Краткие теоретические сведения

Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом.

Длина вектора  вычисляется по формуле:

Пример 1. Вычислить длину вектора = {1; 2; 5}.

Решение:

Формулы сложения и вычитания векторов, заданных в координатах:

Сумму и разность векторов = {a_x ; a_y ; a_z} и = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

+ = {a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z}

- = {a_x - b_x; a_y - b_y; a_z - b_z}

Пример 2. Найти сумму векторов = {1; 2; 5} и = {4; 8; 1}.

Решение: + = {1 + 4; 2 + 8; 5 + 1} = {5; 10; 6}

Формула умножения вектора на число

В случае пространственной задачи произведение вектора = {a_x ; a_y ; a_z} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · = {k · a_x ; k · a_y ; k · a_z}

Пример 3. Найти произведение вектора = {1; 2; -5} на -2.

Решение: (-2) · = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.

Расстояние между точками

Чтобы найти расстояние между точками и , необходимо вычесть из координат конца координаты начала и вычислить модуль полученного вектора.

Пример 4.Вычислить расстояние между точкамиА(1; 2; 5) и В(4; 8; 1).

Решение:

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

x_c =

x_a + x_b

y_c =

y_a + y_b

z_c =

z_a + z_b

Пример 5.Даны точки А(1; 2; 5) и В(4; 8; 1).Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка АВ.

Решение:

1. Вычислим координаты середины отрезка АВ:

C(2.5;5;3)

2. Найдем расстояние от начала координат до середины отрезка АВ.

О(0;0;0) и C(2.5;5;3)

Содержание работы

Вариант 1

Даны векторы  и  (для № 1,2).

1.Найти: ,

2.Найти координаты векторов , , .

3.В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0; 0),
B (3; -4; 2), C (-3; 4; 4). Определить расстояние между точками A и B, B и C, A и C.

4.Даны точки М(-4;7;0), N(0;-1;2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

Вариант 2.

Даны векторы  и  (для № 1,2).

1.Найти: ,

2.Найти координаты векторов , , .

3.В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0; 0),
C (-3;0; 4), D (-2; 1; 2). Определить расстояние между точками C и D, A и D, А и С.

4.Даны точки М(4;1;0), N(0;-6;8). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов