Формула умножения вектора на число

Тема:Операции над векторами в пространстве.

План занятия:

1. Векторы в пространстве

2. Сложение и вычитание векторов: правило треугольника, правило параллелограмма

3. Умножение вектора на число

Вопрос 1. Векторы в пространстве

Вектор – направленный отрезок. Другими словами, вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом.

На рисунках направление вектора обозначается стрелкой от начала к концу. Если длина рассматриваемого отрезка равна нулю, то есть отрезок вырождается в точку, то эта точка тоже может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым и имеет произвольное направление.

На рисунке 1 изображены ненулевые векторы и и нулевой вектор Нулевой вектор иногда обозначается символом

Определение.Длиной (модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка AB. Она обозначается как Длина нулевого вектора равна нулю:

Рис. 1

Определение.Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Поскольку нулевой вектор может иметь произвольное направление, то разумно считать его коллинеарным любому ненулевому вектору.

Определение.Если два ненулевых вектора и коллинеарны, а лучи AB и CD сонаправлены, то векторы и называются сонаправленными. Этот факт обозначается так: Если же эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противонаправленными. Этот факт обозначается так:

На рисунке 2  Векторы  и  не являются ни соноправленными, ни противоположно направленными, так как они не коллинеарны.

Определение.Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

На рисунке 2 , так как  и , а , так как

Рис. 2

Теорема.От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Вопрос 2. Сложение и вычитание векторов: правило треугольника, правило параллелограмма

Определение. Суммой двух векторов и называется новый вектор который обозначается и получается следующим образом.

Рис. 3                                            Рис. 4                          Рис. 5

Отложим от произвольной точки A вектор , равный . Теперь от точки B отложим вектор равный . Вектор и называется суммой векторов и : . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника (рис. 3).

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма (рис.4).

Для любых векторов , и справедливы равенства:

· (переместительный закон);

· (сочетательный закон).

Определение.Разностью векторов и называется такой вектор , сумма которого с вектором равна вектору . Обозначается разность векторов так: где – вектор, противоположный вектору (рис. 5).

Теорема.Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Доказательство этого утверждения следует из закона сложения векторов.

Формулы сложения и вычитания векторов, заданных в координатах:

Сумму и разность векторов = {a_x ; a_y ; a_z} и = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

+ = {a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z}

- = {a_x - b_x; a_y - b_y; a_z - b_z}

Пример 1. Найти сумму векторов = {1; 2; 5} и = {4; 8; 1}.

Решение:

+ = {1 + 4; 2 + 8; 5 + 1} = {5; 10; 6}

Вопрос 3. Умножение вектора на число

Определение.Произведением ненулевого вектора на число k называется вектор длина которого равна причем при k > 0 векторы и сонаправлены, а при k < 0 – противонаправлены. Произведением любого числа на нулевой вектор является по определению нулевой вектор.

Из этого определения следует, что векторы и коллинеарны. Кроме того, произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.

Для любых векторов , и любых чисел k и l справедливы равенства:

· (сочетательный закон);

· (первый распределительный закон);

· (второй распределительный закон).

В случае пространственной задачи произведение вектора = {a_x ; a_y ; a_z} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · = {k · a_x ; k · a_y ; k · a_z}

Пример 2. Найти произведение вектора = {1; 2; -5} на -2.

Решение: (-2) · = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры