Контрольные вопросы к лекции 5

ЛЕКЦИЯ 5

Фигуры с определенной площадью. Площади равных многоугольных фигур.

1. Сформулируйте основные теоремы для фигур с определенной площадью.

Теорема 1. Каждая многоугольная фигура имеет определенную «площадь».

Теорема 2. Фигура имеет определенную «площадь» тогда и только тогда, когда внешняя «площадь» ее границы равна нулю.

Теорема 2а. Фигура имеет определенную «площадь» тогда и только тогда, когда «площадь» ее границы равна нулю.

2. Докажите лемму о том, что площадь отрезков равна нулю.

Доказательство. Пусть фигура F представляет собою отрезок длины l. Пусть a_n – длина стороны квадрата n-й сетки. Тогда по доказанной лемме отрезок проходит внутри не более чем  квадратов сетки, и, значит, фигура  состоит не более чем из такого числа квадратов, и так как «площадь» квадрата , то «площадь» фигуры  оценивается так:

Когда  Следовательно, , что и требовалось доказать.

3. Докажите лемму о том, что «площадь» прямоугольника со сторонами, параллельными прямым квадратной сетки, равна произведению длин его сторон.

Доказательство получаем обычным путем, как в школьном курсе, беря квадраты, содержащиеся в данном прямоугольнике F и покрывающие его, т.е. беря фигуры . (Правда, в школьном курсе квадраты «накладывают» от двух сторон прямоугольника, тут же они, вообще говоря, располагаются иначе. Но это, очевидно, не существенно).

4. Сформулируйте следствие из леммы «Если одна многоугольная фигура получается из другой параллельным переносом, то их «площади» равны».

Следствие. Квадратные сетки, получаемые их данных путем какого-либо перемещения, состоят каждая из квадратов одной и той же «площади». «Площадь» каждого квадрата составляет поэтому такую же долю основного квадрата, как в данных сетках.

5. Докажите теорему о равенстве «площадей» равных многоугольных фигур.

Фигура, равная данной, получается из нее некоторым перемещением, а всякое перемещение может быть получено как результат нескольких (не более 3-х) последовательных отражений. При каждом отражении многоугольная фигура согласно лемме 5 переходит в многоугольную фигуру с той же «площадью». Поэтому будет и при нескольких отражениях. Тем самым фигура, равная данной, имеет ту же «площадь», что и требовалось доказать.

6. Докажите лемму ««Площадь» объединения конечного числа фигур нулевой «площади» равна нулю».

Доказательство. Если фигура F служит объединением фигур F₁,F₂,…,F_m, то согласно лемме:

Поэтому если все фигуры F₁,F₂,…,F_m нулевой «площади», то и .

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману