Полное название темы или номер варианта)

(наименование дисциплины)

На тему____________________________________________

   (полное название темы или номер варианта)

Студента             Устич Владислава Сергеевича____________     

           (фамилия, имя и отчество полностью)

            ___________________________________________

Дата отправки работы        Отметка о зачете работы:

в университет_______________________________________

Дата регистрации работы_____________________________

в университете ______________________________________

                     ______________________________________

Вариант  №5

Задание 1. В третьем семестре изучаются  дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание на какой-либо день недели, если в этот день должны быть четыре пары по различным дисциплинам?

Решение:

Первую пару можно выбрать 12 способами, вторую пару – 11 способами, третью пару – 10 и четвертую – 9 способами.

Итого:

способов составления.

Ответ: 11880 способов.

Задание 2. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются.

Решение:

В нашем случае число кратно пяти, если оно заканчивается цифрой 5. Требуется расставить 5 цифр (1, 2, 3, 4, 6) на первые пять разрядов шестизначного числа. Используем перестановки без повторений:  различных элементов можно расположить на  местах  способами – число перестановок без повторений из  элементов:

Значит,

Ответ: 120.

Задание 3. В чемпионате по футболу участвуют  команд, причем каждые две команды встречаются друг с другом дважды. Сколько матчей будет проведено?

Решение:

Каждая из 15 команд играет дважды с 14 командами, значит проводит  матчей. Учитывая, что команды играют друг с другом, всего будет проведено

Ответ: 210 матча

Задание 4. Найти выражение для суммы первых  «треугольных» чисел (написать формулу для  – го «треугольного» числа):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,…

Решение:

Пусть  треугольное число, тогда

Решим уравнение:

Характеристическое уравнение

значит, решение уравнения

имеет вид

Подберем частное решение исходного уравнения в виде

тогда

подставляем:

откуда

Таким образом,

Так как  то

откуда  и искомая формула для треугольного числа

Пусть  сумма первых  треугольных чисел, тогда

Решаем характеристическое уравнение:

частное решение

откуда

значит,

Так как

то

и

Задание 5. Последовательность Фибоначчи задаётся рекуррентным соотношением  и начальными условиями .  Найти выражение для общего члена последовательности и выписать её первые 14 членов.

Решение:

Составляем характеристическое уравнение:

составим и решим систему

Вычтем из первого уравнения второе:

Тогда

и так далее. Представим в виде таблицы первые 14 членов:

Задание 5.6.1. Найти общее решение рекуррентного соотношения 5-го порядка:

Характеристическое уравнение заданного соотношения:

Найдём корни этого уравнения. Ищем сначала целые корни, они должны являться делителями свободного члена. Начинаем поиск со значений . Подставляем  в уравнение:

Подставляем  в уравнение:

Выделяем множитель :

Значит,

Теперь решаем уравнение

.

Проверим, являются ли значение  корнем этого уравнения:

Подставляем  в уравнение:

Выделяем множитель :

Исходное уравнение принимает вид:

Теперь решаем уравнение

Опять начинаем поиск со значения . Подставляем  в уравнение:

Ищем далее корни среди значений  (делителей свободного члена 12).

Подставляем  в уравнение:

Подставляем  в уравнение:

Выделяем множитель :

Таким образом,

 Решаем квадратное уравнение