Суть алгоритму графічного методу розв’язання задач лінійного програмування.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 11

Алгоритм графічного методу розв’язування задачі лінійного програмування складається з таких кроків:

 1. Будуємо прямі, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі (2.18) знаків нерівностей на знаки рівностей.

 2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

 3. Знаходимо багатокутник розв’язків задачі лінійного програмування.

 4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі.

 5. Будуємо пряму с1х1 + с2х2 = const, перпендикулярну до вектора .

 6. Рухаючи пряму с1х1 + с2х2 = const в напрямку вектора  (для задачі максимізації) або в протилежному напрямі (для задачі мінімізації), знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набирає екстремального зна- чення.

 7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

 У разі застосування графічного методу для розв’язування задач лінійного програмування можливі такі випадки:

 1. Цільова функція набирає максимального значення в єдиній вершині А багатокутника розв’язків (рис. 2.5).

 2. Максимального значення цільова функція досягає в будь-якій точці відрізка АВ (рис. 2.6). Тоді задача лінійного програмування має альтернативні оптимальні плани.

 3. Задача лінійного програмування не має оптимальних планів: якщо цільова функція необмежена згори або система обмежень задачі несумісна.

4. Задача лінійного програмування має оптимальний план за необмеженої області допустимих розв’язків. Розв’язувати графічним методом можна також задачі лінійного програмування n-вимірного простору, де , якщо при зведенні системи нерівностей задачі до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних кількість змінних n на дві більша, ніж число обмежень m, тобто

Як обчислюють потенціали?

Алгоритм методу потенціалів складається з таких етапів:

· Визначення типу транспортної задачі (відкрита чи закрита). За необхідності слід звести задачу до закритого типу.

· Побудова першого опорного плану транспортної задачі одним з відомих методів.

· Перевірка опорного плану задачі на виродженість. За необхідності вводять нульові постачання.

· Перевірка плану транспортної задачі на оптимальність.

1. Визначення потенціалів для кожного рядка і стовпчика таблиці транспортної задачі. Потенціали опорного плану визначають із системи рівнянь ui + vj = cij, які записують для всіх заповнених клітинок транспортної таблиці, кількість яких дорівнює , а кількість невідомих —  . Кількість рівнянь на одне менша, ніж невідомих, тому система є невизначеною, і одному з потенціалів надають нульове значення. Після цього всі інші потенціали розраховують однозначно.

2. Перевірка виконання умови оптимальності для пустих клітин. За допомогою розрахованих потенціалів перевіряють умову оптимальності ui + vj ≤ cij для незаповнених клітинок таблиці. Якщо хоча б для однієї клітини ця умова не виконується, тобто ui + vj > cij, то поточний план є неоптимальним, і від нього необхідно перейти до нового опорного плану.

3. Вибір змінної для введення в базис на наступному кроці. Загальне правило переходу від одного опорного плану до іншого полягає в тому, що з попереднього базису виводять певну змінну (вектор), а на її місце вводять іншу змінну (вектор), яка має покращити значення цільової функції. Аналогічна операція здійснюється і в алгоритмі методу потенціалів.

 Перехід від одного опорного плану до іншого виконують заповненням клітинки, для якої порушено умову оптимальності. Якщо таких клітинок кілька, то для заповнення вибирають таку, що має найбільше порушення, тобто  .

4. Побудова циклу і перехід до наступного опорного плану. Вибрана порожня клітина разом з іншими заповненими становить , отже, з цих клітин обов’язково утвориться цикл (теореми та наслідок § 5.2). У межах даного циклу здійснюють перерахування, які приводять до перерозподілу постачань продукції. Кожній вершині циклу приписують певний знак, причому вільній клітинці — знак «+», а всім іншим — за черговістю знаки «–» та «+». У клітинках зі знаком «–» вибирають значення q  і переносять його у порожню клітинку. Одночасно це число додають до відповідних чисел, які містяться в клітинках зі знаком «+», та віднімають від чисел, що позначені знаком «–». Якщо значенню q відповідає кілька однакових перевезень, то при відніманні залишаємо у відповідних клітинках нульові величини перевезень у такій кількості, що дає змогу зберегти невиродженість опорного плану.

 Внаслідок наведеного правила вибору q дістаємо новий опорний план, який не містить від’ємних перевезень і задовольняє умови транспортної задачі. Оскільки кількість всіх клітин таблиці, що входять у цикл, є парною і до половини з них те саме число q додається, а від половини віднімається, то загальна сума перевезень по всіх колонках і рядках залишається незмінною.

 Доведемо ациклічність нового плану. Вектор умов, який відповідає приєднаній клітині, є лінійною комбінацією векторів базису, які утворюють разом з ним цикл, бо ці вектори входять у згадану лінійну комбінацію з відмінними від нуля коефіцієнтами (доведення теореми §5.2). Виключення з циклу одного з базисних векторів приводить до нової системи з  лінійно незалежними векторами, бо інакше введений у новий базис вектор мав би два різних розклади через вектори попереднього базису, що неможливо. А системі лінійно незалежних векторів відповідає ациклічна сукупність клітин таблиці транспортної задачі, що й потрібно було довести.

 Отже, клітинка, що була вільною, стає заповненою, а відповідна клітинка з мінімальною величиною xij вважається порожньою. У результаті такого перерозподілу перевезень продукції дістанемо новий опорний план транспортної задачі.

 5. Перевірка умови оптимальності наступного опорного плану. Якщо умова оптимальності виконується — маємо оптимальний план транспортної задачі, інакше необхідно перейти до наступного опорного плану (тобто повернутися до пункту 3 даного алгоритму).

 Зауважимо, що аналогічно з розв’язуванням загальної задачі лінійного програмування симплексним методом, якщо за перевірки оптимального плану транспортної задачі для деяких клітин виконується рівність , то це означає, що задача має альтернативні оптимальні плани. Отримати їх можна, якщо побудувати цикли перерозподілу обсягів перевезень для відповідних клітин.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии