Магнітне поле колового струму.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 9Следующая ⇒

Знайдемо індукцію магнітного поля в центрі О, колового струму радіусом R, по якому протікає струм І (рис. 164):

,

, r = R.

Тоді

.

Усі вектори  магнітних полів, які створені в точці О різними ділянками  колового струму, напрямлені перпендикулярно до площини рисунка „від нас”. Тоді:

.

Отже, магнітна індукція поля колового струму дорівнює:

.

 3.Закон Ампера. Взаємодія паралельних струмів.

На провідники зі струмом, що знаходяться в магнітному полі, діють сили Ампера.

Узагальнюючи результати дослідження дії магнітного поля на різні провідники зі струмом, Ампер встановив, що

сила , з якою магнітне поле діє на елемент довжини  провідника зі струмом, що знаходиться в магнітному полі, прямо пропорційна до сили струму  в провіднику і до векторного добутку елемента довжини  на магнітну індукцію :

.

Це співвідношення називається законом Ампера.

Напрямок сили  можна знайти за правилом векторного добутку і за правилом лівої руки: якщо долоню лівої руки поставити так, щоб у неї входили лінії магнітної індукції, а чотири витягнуті пальці спрямувати в напрямку електричного струму в провіднику, то відставлений на  великий палець покаже напрямок сили, що діє на провідник з боку поля. Це правило зручне, коли елемент провідника зі струмом перпендикулярний до напрямку магнітного поля.

В загальному випадку для визначення напрямку сили Ампера   слід скористатись правилом векторного добутку: вектор  напрямлений перпендикулярно до площини, утвореної векторами  і  так, щоб з кінця вектора  обертання від вектора  до вектора  найкоротшим шляхом відбувалося проти годинникової стрілки (рис. 165).

Модуль сили Ампера розраховується за формулою

,

де a - кут між векторами  і .

Закон Ампера дає змогу визначити іншим способом, ніж раніше, фізичний зміст магнітної індукції .

Припустимо, що елемент провідника  із струмом I перпендикулярний до напрямку магнітного поля , тоді закон Ампера можна записати у вигляді:

.

Звідси, магнітна індукція  числово дорівнює силі, що діє з боку поля на одиницю довжини провідника, по якому протікає електричний струм одиничної сили і який розташовано перпендикулярно до напрямку магнітного поля.

Отже, магнітна індукція є силовою характеристикою магнітного поля.

Використовуючи закон Ампера, розраховуємо силу взаємодії між двома прямими нескінченно довгими провідниками зі струмами  і , які розміщені паралельно один до одного на відстані R. Кожен із провідників створює магнітне поле, яке діє згідно закону Ампера на другий провідник. Якщо електричні струми  і однакового напрямку, то провідники притягуються один до одного (рис. 166а), а якщо напрямки струмів взаємно протилежні, то провідники відштовхуються один від одного (рис. 166б).

За законом Ампера на елемент  провідника зі струмом  діє сила , яка числово дорівнює:

,

де  - магнітна індукція поля, створеного струмом , враховуючи, що кут між векторами  і  – прямий, отримуємо:

.

Відповідно на ділянку  провідника зі струмом  діє сила , модуль якої:

.

Отже, для сил  і  можна написати загальну формулу:

.

3.Сила Лоренца. Рух заряджених частинок у магнітному полі. Прискорювачі заряджених частинок.

Виникнення макроскопічної сили Ампера, що діє на провідник із струмом у магнітному полі, можна пояснити так. При проходженні струму носії заряду в провіднику рухаються напрямлено. Тому магнітне поле відхиляє їх в один бік. При цьому вони стикаються з кристалічною ґраткою металу і передають їй певний імпульс, якого набули під дією магнітного поля. Макроскопічним результатом елементарних процесів зіткнення окремих носіїв заряду з кристалічною ґраткою провідника є виник­нення сили Ампера.

Магнітне поле діє на вільні елек­трони в металі і без електричного струму в провіднику. Оскільки електрони в цьому випадку рухаються тільки хаотично, то сумарний імпульс, який вони надають кристалічній ґратці провідника, дорівнює нулю і провідник залишається нерухомим.

Для обчислення сили, що діє на рухомий заряд в магнітному полі, розглянемо елемент провідника  зі струмом І у магнітному полі з індукцією . На цей елемент діє сила Ампера . Якщо елемент  містить dN вільних носіїв заряду, то сила , що припадає на один електрон, дорівнює:

,

де – сила Лоренца.

Кількість носіїв заряду dN в елемен­ті провідника  запишемо через їх концентрацію n та об’єм dV елемента: dN = ndV = nS , S – площа поперечного перерізу провідника. Тоді

.

Оскільки за електронною теорією , то , або ,

де  – кут між векторами  і .

В загальному випадку

.

Напрямок сили Лоренца визначається за правилом векторного добутку або правилом лівої руки: якщо долоню лівої руки розмістити так, щоб в неї входив вектор , а чотири витягнуті пальці спрямовувати вздовж вектора швидкості  руху позитивних зарядів, то відігнутий на  великий палець покаже напрямок сили, що діє на позитивний заряд. На негативний заряд сила діє в протилежному напрямку (рис. 173).

Отже, магнітне поле не діє на електричні заряди, що не рухаються.

Сила Лоренца завжди перпендикулярна до швидкості руху зарядженої частинки, тому вона змінює лише напрямок цієї швидкості, не змінюючи її модуля. Отже, сила Лоренца роботи не виконує і кінетична енергія частинки при русі в магнітному полі не змінюється.

Якщо на рухомий електричний заряд, крім магнітного поля з індукцією , діє і електричне поле з напруженістю , то результуюча сила , яка прикладена до заряду:

.

Це формула Лоренца.

Якщо заряджена частинка рухається в магнітному полі зі швидкістю  вздовж ліній магнітної індукції або в протилежний бік до напрямку магнітної індукції, то , або . У такому разі , магнітне поле на частинку не діє і вона рухається рівномірно і прямолінійно.

Якщо заряджена частинка рухається в магнітному полі з швидкістю  перпендикулярно до вектора , то сила Лоренца є стала за модулем і нормальна до траєкторії частинки. Частинка рухатиметься по колу, бо сила Лоренца за другим законом Ньютона буде створювати доцентрове прискорення. Отже,

. Звідси ,

де r - радіус кола.

Використавши зв’язок , знайдемо циклічну частоту  та період Т обертання частинки навколо ліній індукції в магнітному полі:

, .

Період обертання частинки в однорідному магнітному полі не залежить від її швидкості (при ). На цьому ґрунтується дія циклічних прискорювачів заряджених частинок.

Якщо швидкість  зарядженої частинки напрямлена під кутом  до вектора  (рис. 174), то її рух можна подати у виг­ляді суперпозиції:

1) рівномірного прямолінійного руху вздовж поля з швидкістю ;

2) рівномірного руху з швидкістю  вздовж кола, яке перпендикулярне до поля. Радіус кола .

В результаті складання обох рухів виникає рух вздовж спіралі, вісь якої паралельна до магнітного поля. Крок гвинтової лінії

.

Напрямок, в якому закручується спіраль, залежить від знака заряду частинки.

4. Ефект Холла.

В 1879 р. Е. Холл здійснив наступний експеримент. Він пропускав електричний струм I через золоту пластинку у вигляді паралелепіпеда і вимірював різницю потенціалів D j між точками C і D на верхній і нижній гранях (рис. 175).

Ці точки лежать у одному і тому поперечному перерізі пластинки. Тому виявилось, що D j = 0. Колипластинку зі струмом Холл помістив в однорідне магнітне поле, лінії магнітної індукції якого
перпендикулярні до бічних граней плас­тинки, то було встановлено, що різниця потенціалів  і вона прямопропорційна силі струму I, магнітній індукції поля B і обернено пропорційна ширині в пластинки, тобто

,

де  - коефіцієнт пропорційності і наз­ваний сталою Холла. А явище, яке експериментально виявив Холл, дістало назву ефект Холла.

Наступні дослідження показали, що ефект Холла спостерігається в усіх провідниках і напівпровідниках. Зміна напрямку струму або напрямку магнітного поля на протилежний викликає зміну різниці потенціалів D j.

.

Порівнюючи цей вираз для D j з виразом, який отриманий на основі експерименту, отримуємо що стала Холла обернено пропорційна до добутку заряду елек­трона e на їх концентрацію n:

.

Тема 6.Електромагнітна індукція. Магнітні властивості речовини.

      1.Явище електомагнітної індукції. Досліди Фарадея.

Після відкриття Ерстеда, в якому було доведено, що навколо провідників із струмом існує магнітне поле, природно було поставити питання про можливість утворення електричного струму у провідниках за допомогою магнітного поля. Це питання розв’язав М. Фарадей, який в 1831 р. показав, що в замкненому провіднику виникає електричний струм при будь-яких змінах магнітного потоку через поверхню, охоплену цим провідником.

Явище виникнення електрорушійної сили при зміні магнітного потоку, що пронизує поверхню, яка охоплена провідним, контуром, називається електромагнітною індукцією.

Струм, що виникає у провідниках при електромагнітній індукції, називається індукційним.

Виникнення індукційного струму завжди пов’язане із зміною магнітного потоку через поверхню, яку охоплює провідник. Ці зміни можуть відбуватися з різних причин, зокрема через:

- переміщення постійного магніту віднос­но нерухомого провідника;

- переміщення контурувідносно нерухомого магніту;

- замикання та розмикання струму в обмотці нерухомого електромагніту, розміщеного поблизу провідника;

- відносне переміщення контуруі елек­тромагніту;

- зміну магнітної індукції поля електромагніту (виймання осердя при сталому струмі в обмотці або зміну струму реостатом);

- зміну комутатором напрямку струму в обмотці електромагніту;

- постійний рух контурув неоднорідному магнітному полі;

- обертальний рух контурув однорідному магнітному полі.

Отже, індукційний струм в замкненому провідному контурі виникає тільки тоді, коли змінюється магнітний потік, який проходить через площу, охоплену контуром.

2.Закон Фарадея-Максвелла. Правило Ленца.  3.Вихрові струми.

Фарадей встановив, що напрямок індукційного струму в провіднику залежить від характеру зміни (збільшення чи зменшення) магнітного потоку  чи  через його контур. Якщо при внесенні постійного магніту в котушку стрілка гальванометра відхиляється в один бік, то при вийманні магніту вона відхиляється в протилежний бік.

Загальне правило, за допомогою якого можна визначити напрямок індукційного струму в замкненому провіднику, сформулював Е.Х. Ленц:

індукційний струм у замкненому провіднику завжди має такий напрямок, що створений цим струмом власний магнітний потік протидіє тим змінам зов­нішнього магнітного потоку, які збуджують індукційний струм.

Ця формула, яка об’єднує закони Фарадея і Ленца, є математичним виразом основного закону електромагнітної індукції (Фарадея-Максвелла):

електрорушійна сила електромагнітної індукції в замкненому контурі числово дорівнює і протилежна за знаком швидкості зміні магнітного потоку крізь поверхню, обмежену контуром.

Якщо ЕРС індукції виникає при зміні магнітного потоку, який пронизує котушку з N витків, то її величина буде відповідно в N разів більшою, ніж для одного витка, тобто

.

На основі закону електромагнітної індукції можна означити одиницю магнітного потоку вебер: 1 Вб – це такий магнітний потік, при зменшенні якого до нуля протягом 1 с в колі, яке він пронизував, виникає ЕРС індукції в 1 В.

Тема 7.Основи теорії Максвела для електромагнітного поля.

4.Рівняння Максвелла для електромагнітного поля в інтегральній та диференціальній формі.

І.                  Електричне поле може бути як потенціальним , так і вихровим . Тому напруженість сумарного поля . Оскільки циркуляція вектора  вздовж довільного замкненого контура дорівнює нулю, то циркуляція вектора  сумарного поля

.

Це рівняння зв’язує значення  із зміною вектора  з часом і є виразом закону електромагнітної індукції.

Перше рівняння Максвелла вказує на те, що джерелами електричного поля можуть бути не тільки електричні заряди, але і змінні з часом магнітні поля.

ІІ.                 Узагальнена теорема про циркуляцію вектора :

.

Це рівняння показує, що магнітні поля можуть збуджуватись або рухомими зарядами, або змінними електричними полями.

ІІІ.               Теорема Остроградського-Гауса для потоку вектора електричного зміщення  крізь довільну замкнену поверхню , що охоплює сумарний заряд :

.

Якщо заряд розподілений всередині замкненої поверхні з об’ємною густиною , то

.

IV.                Теорема Остроградського-Гауса для магнітного потоку крізь довільну зам­кнену поверхню :

.

Отже, повна система рівнянь Максвелла в інтегральній формі має такий вигляд:

, ,

, .

Величини, що входять в рівняння Максвелла, не є незалежними і між ними є такий зв’язок:

, , .

Зазначимо, що до першого та чет­вертого рівняння Максвелла входять лише основні характеристики поля  і , а в друге і третє – лише допоміжні величини  і .

РОЗДІЛ III. Фізика коливань і хвиль.

Тема 8.Механічні і електромагнітні коливання.

5.Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти.

Перш ніж розглядати додавання ко­ливальних рухів, спинимось на способі
зображення коливань за допомогою обертального вектора амплітуди.

Для цього із довільної точки О, яка вибрана на осі X, під кутом , що дорівнює початковій фазі коливань, відкладемо вектор , модуль якого дорівнює амплітуді A коливання (рис. 28).

Проекція вектора  на вісь OX дорівнює зміщенню  у момент початку відліку часу :

.

Обертатимемо вектор амплітуди навколо осі O, яка перпендикулярна до площини рисунка, з кутовою швидкістю . За проміжок часу t вектор амплітуди повертається на кут . Проекція вектора  в цьому положенні на вісь ОХ дорівнює:

.

За час Т, що дорівнює періоду коли­вань, вектор амплітуди повертається на кут , а проекція його кінця зробить одне повне коливання навколо положення рівноваги O, отже, обертовий вектор амплітуди повністю характеризує гармонічне коливання.

Нехай точка бере участь у двох гар­монічних коливаннях однакової частоти, які напрямлені вздовж однієї прямої:

, .

Ці коливання зручно додати, користуючись методом обертального вектора амплітуди. Для цього відкладемо з точки О під кутом  вектор амплітуди , а під кутом  - вектор амплітуди  (рис. 29).

Оскільки вектори  і  обертаються з однаковою кутовою швидкістю, то різниця фаз  між ними постійна. Оскільки сума проекцій двох векторів на одну вісь дорівнює проекції на ту саму вісь вектора, який є їх сумою, то результуюче коливання можна подати вектором амплітуди , що дорівнює сумі векторів  і :

і який обертається навколо точки  з тією самою кутовою швидкістю , що й вектори  і . Результуюче коливання описуються рівнянням

,

де  – амплітуда результуючого коливання, а  – його початкова фаза.

Застосовуючи теорему косинусів до одного з трикутників, на які паралелограм розбивається діагоналлю, з рис. 29 видно, що

,

.

Амплітуда A результуючого коли­вання залежить від різниці початкових фаз  коливань, що додаються. Можливі значення A лежать в межах

.

Розглянемо кілька окремих випадків.

1). , .

Тоді   і .

2). , .

Тоді  і .

Розглянемо аналітичний метод знаходження результуючого коливання в дея­ких простих випадках:

а) частоти і фази коливань, що додаються, однакові, амплітуди різні:

.

Амплітуда результуючого коливання  дорівнює сумі амплітуд коливань, що додаються.

б) частоти і амплітуди однакові, фази відрізняються на :

.

Амплітуда результуючого коливан­ня

менша суми амплітуд, що додаються; зокрема, якщо , то .

Якщо частоти коливань  і  неоднакові, то вектори  і  будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому ви­падку результуючий вектор  пульсує за величиною і обертається зі змінною швидкістю. Результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонічне коливання, а деякий складний коливний процес.

Особливий інтерес становить випадок, коли два гармонічні коливання однакового напрямку, що додаються, мало відрізняються за частотою.

Періодичні зміни амплітуди коливання, які виникають при додаванні двох гармонічних коливань одного напрямку з близькими частотами, називаються бит­тями.

Нехай амплітуди коливань , ,

а частоти дорівнюють ,   і << .

Тоді рівняння коливань матимуть вигляд: , .

Додаючи ці вирази і застосовуючи тригонометричну формулу для суми коси­нусів, отримуємо: .

Отриманий вираз є добуток двох коливань. Оскільки << , то множник  майже не зміниться, коли множник  здійснює кілька повних коливань. Тому результуюче коливання  можна розглядати як гармонічне з частотою  й амплітудою

.

Частота зміни  удвоє більша від частоти зміни косинуса (оскільки береться за модулем). Частота биття дорівнює різниці частот коливань, що додаються, тобто . Період биття .

Суцільні лінії на рис. 30 дають графік результуючого коливання у випадку , і графік амплітуди .

6.Додавання взаємно перпендикулярних коливань.

Нехай матеріальна точка C одночас­но бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою частотою у двох вза­ємно перпендикулярних напрямках як вздовж осі Х, так і вздовж осі Y (рис. 31). Якщо збудити обидва коливання, матеріальна точка буде рухатись вздовж деякої криволінійної траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.

Виберемо початок відліку часу так, щоб початкова фаза першого коливання дорівнювала нулю. Тоді рівняння коливань матимуть такий вигляд:

, .

де  - різниця фаз обох коливань.

Ці вирази – параметрична форма
рівняння траєкторії, вздовж якої рухається точка, що бере участь в обох коливаннях. Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь параметр . Проведемо наступні перетворення:

, ,

;

                                             ,

.

В результаті отримаємо

.

Це рівняння еліпса, осі якого повер­нуті відносно координатних осей OX і OY. Орієнтація еліпса і величини його півосей залежать від амплітуд OA і OB і різниці фаз .

Розглянемо частинні випадки.

1).     

Тоді                   ;

звідси                 .

Результуюче коливання є гармонічним вздовж прямої з частотою  і амплітудою  (рис. 32). Пряма утворює з віссю X кут .

2). ,

У цьому випадку

;

і

.

Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої  (рис. 33).

3).

В результаті .

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, а його півосі дорівнюють відповідним амплітудам (рис. 34).

Якщо А=В, то еліпс вироджується в коло. Випадки

 і  

відрізняються напрямком руху по еліпсу чи колу.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань, що додаються, різні, то замкнена траєкторія результуючого коливання досить складна.

Замкнені траєкторії, що кресляться точкою, яка здійснює одночасно два взаємно перпендикулярні коливання, назива­ються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз коливань, що додаються (рис. 35).

Тема 9.Хвилі. елементи хвильової оптики.

   7.Експериментальне одержання електромагнітних хвиль. Диференціальне рівняння електромагнітної хвилі

З рівнянь Максвелла

,

можна отримати рівняння плоскої елек­тромагнітної хвилі.

Припустимо, що в тому місці, де збуджується електромагнітне поле, вектор  весь час залишається паралельним до координатної осі , тоді , , а вектор  паралельний до координатної осі OY і , .

Оскільки в рівняннях Максвелла контури  можуть бути довільної форми і розмірів, то для першого з рівнянь виберемо елементарний контур , що лежить в площині , а для другого – контур , що лежить в площині  (рис. 206).

Вектори  і  є функціями координат і часу, тому їх значення в різних місцях контурів будуть різними. Наприклад, якщо в точці  вектор  має значення , то в точці  з координатою  його значення дорівнюватиме:

,

де частинна похідна  характеризує швидкість зміни  в напрямку осі .

Розрахуємо . На ділянках O а і b с добуток , оскільки вектор  перпендикулярний до O а і b с. Для ділянок а b і O с помножимо довжину кожної з цих ділянок  на середнє значення вектора  в межах цих ділянок; оскільки на ділянці c O вектор  напрямлений проти обходу, то отримаємо

                 ,

де  – площа, яка охоплена контуром.

Тоді

              . Звідси

.

Аналогічний розрахунок для другого рівняння і контуру  дає такий результат

.

Розрахуємо частинні похідні за часом від  і за координатою  від , вважаючи  і  сталими величинами.

, .

Звідси отримуємо хвильове рівняння для :  . Аналогічно, беручи частинні похідні по координаті  від  і по часу від , отримуємо хвильове рівняння для : .

Отже, змінне електромагнітне поле поширюється в просторі у вигляді електромагнітної хвилі.

. 8. Енергія електромагнітної хвилі.

Електромагнітне поле має енергію. Тому поширення електромагнітних хвиль пов’язане з перенесенням енергії в полі, подібно до того, як поширення пружних хвиль у речовині пов’язане з перенесенням механ

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии