Первая и вторая задачи динамики материальной точки

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 17Следующая ⇒

Пример 1.1

Груз  массы , подвешенный на нити длины , другой конец которой закреплен в точке , представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости (Рис.1.1). Нить образует с вертикалью угол . Определить скорость груза  и силу натяжения нити .

Рис.1.1

Рассмотрим движение груза , который по условию задачи можно считать материальной точкой. Поскольку траектория точки известна, используем уравнения движения в проекциях на оси естественного трёхгранника. В рассматриваемом случае эти уравнения имеют вид:

Последнее уравнение позволяет определить силу :  Из первого уравнения можно сделать вывод, что в процессе движения скорость точки не изменяет свою величину; определить эту величину можно из второго уравнения:

Заметим, что в решении фигурирует сила реакции нити, но искомая сила натяжения нити равна ей по модулю.

Пример 1.2

Автомобиль массы  движется по выпуклому мосту равномерно со скоростью  (Рис.1.2). Радиус кривизны в середине моста . Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста.

Рис.1.2

Рассмотрим автомобиль в верней точке моста. Силы, действующие в направлении касательной к траектории – сила трения, сила сопротивления воздуха неизвестны. В направлении главной нормали к траектории действуют известная сила тяжести и нормальная реакция опоры, которую и требуется определить. Поэтому запишем уравнение движения в проекциях на главную нормаль к траектории. В рассматриваемом случае это уравнение принимает вид:

   отсюда:  

По третьему закону Ньютона сила давления автомобиля на мост по модулю равна нормальной реакции.

Пример 1.3

Решето рудообогатительного грохота движется поступательно по вертикали по закону . Найти наименьшую частоту  колебаний решета, при которой куски руды, лежащие на нем, будут отделяться от него и подбрасываться вверх.

Рис.1.3.

Направим ось  вертикально вверх (Рис.1.3). Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

Отсюда:

Минимальное значение нормальная реакция принимает в верхней точке, где :

Если кусок руды отделяется от решета, то    отсюда

Пример 1.4

Материальная точка массы  совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону , где  и  — постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость . Найти уравнение движения точки.

Направим ось  вдоль прямой, по которой движется точка, совместив начало отсчета с начальным положением точки. На основании второго закона Ньютона в проекции на ось  получаем:

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение движения точки

определяем зависимость ее скорости от времени:

Поскольку , полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение относительно функции :

интегрируя которое, определяем закон движения точки:

Пример 1.5

На какую высоту  и за какое время  поднимется тело весом , брошенное вертикально вверх со скоростью , если сопротивление воздуха может быть выражено формулой , где  — скорость тела?

Направим ось  вертикально вверх, полагая  на поверхности Земли (Рис.1.4). Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

или, учитывая что , вид:

Рис.1.4

Уравнение  представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Чтобы получить зависимость скорости от времени, выполняем интегрирование с переменным верхним пределом. Учитывая начальные условия, получаем:

отсюда:

Теперь мы имеем возможность определить время подъема тела на максимальную высоту. Подставляя в уравнение (с) условия

при            получаем   

Остается определить максимальную высоту подъема . Уравнение   можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно функции , поскольку , но интегрирование уравнения

представляется неудобным.

Помимо зависимости , для определения  нас вполне устраивает зависимость , поскольку скорость в верхней точке известна: . Перейдем в уравнении   от производной по  к производной по , полагая

Уравнение   принимает вид:

Интегрируя уравнение  

                           получаем:          

Заметим, что соотношение  представляет собой одну из форм записи теоремы об изменении кинетической энергии, которую мы докажем позднее.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии