Формула (3.7) и есть итерационная формула метода Ньютона для приближенного решения системы нелинейных уравнений.

,

где n - номер итерации.

Метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью. На практике используется следующий критерий остановки:

.

Решение проблемы собственных значений

Пусть дана квадратная матрица A размерностью (m*m) и существует такое число l, что выполняется равенство

,

тогда такое число l называется собственным значением матрицы А, а x – соответствующим ему собственным вектором.

Перепишем это равенство в эквивалентной форме

(A - lE) * = 0.

(4.1)

Система (4.1) - однородная система линейных алгебраических уравнений. Для существования нетривиального решения системы (4.1) должно выполняться условие

Определитель в левой части уравнения является многочленом m-ой степени относительно l, его называют - характеристическим определителем (характеристическим многочленом). Следовательно, уравнение (4.2) имеет m корней или m собственных значений. Среди них могут быть как действительные, так и комплексные корни.

Задача вычисления собственных значений сводится к нахождению корней характеристического многочлена (4.2). Корни могут быть найдены одним из итерационных методов (в частности методом Ньютона).

Если найдено некоторое собственное значение матрицы A, то подставив это число в систему (4.1) и решив эту систему однородных уравнений, находим собственный вектор х, соответствующий данному собственному значению.

Собственные вектора будем при нахождении нормировать (вектор х умножаем на || х ||^-1, и таким образом они будут иметь единичную длину), нахождение собственных значений матрицы A и соответствующих им собственных векторов и есть полное решение проблемы собственных значений. А нахождение отдельных собственных значений и соответствующих им векторов - называется решением частной проблемы собственных значений.

Эта проблема имеет самостоятельное значение на практике.

Например, в электрических и механических системах собственные значения отвечают собственным частотам колебаний, а собственные вектора характеризуют соответствующие формы колебаний.

Эта задача легко решается для некоторых видов матриц - диагональных, треугольных и трехдиагональных матриц.

К примеру определитель треугольной или диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов, тогда и собственные числа равны диагональным элементам.

Пример 1. Матрица А – диагональная . Тогда

det(А-lЕ)= , а характеристическое уравнение имеет трехкратный корень l=а.

Собственными векторами для матрицы А будут единичные векторы

Пример 2. Найдем собственные числа матрицы

.

Составим характеристический многочлен

Используя метод Ньютона, определим один из корней уравнения Р₃(l)=0, а именно l₁» -7.87279.

Разделив многочлен на (l-l₁) получим многочлен второй степени: =l² + 3.02711l + 2.66765. Решив квадратное уравнение, находим оставшиеся два корня:l_2,3» -1.51356 ± 0.613841 * i (комплексное сопряженные корни).

Существуют прямые методы нахождения собственных значений и итерационные методы. Прямые методы неудобны для нахождения собственных значений для матриц высокого порядка. В таких случаях с учетом возможностей компьютера более удобны итерационные методы.

Прямые методы

4.1.1 Метод Леверрье

Метод разделяется на две стадии:

- раскрытие характеристического уравнения,

- нахождение корней многочлена.

Пусть det(A-lE) - есть характеристический многочлен матрицы А ={a_ij} (i,j=1,2,…,m), т.е. , и l₁,l_2,…,l_m - есть полная совокупность корней этого многочлена (полный спектр собственных значений).

Рассмотрим суммы вида (k=1,2,…,m), т.е.

,

(4.3)

где - след матрицы.

В этом случае при k£m справедливы формулы Ньютона для всех (1£k£ m)

,

(4.4)

Откуда получаем

Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена р _i можно определить, если известны суммы S₁,S₂,...,S_m. Тогда схема алгоритма раскрытия характеристического определителя методом Леверрье будет следующей:

1) вычисляем степень матрицы: А^к=А^к-1*А для k=1,…,m;

2) определяют S_k - суммы элементов стоящих на главной диагонали матриц А^к;

3) по формулам (4.5) находят коэффициенты характеристического уравнения р_i (i=1,2,…,m).

4.1.2 Усовершенствованный метод Фадеева

Алгоритм метода:

1) вычисляют элементы матриц A₁,A₂,..,A_m:

(в конце подсчета B_m нулевая матрица для контроля);

2) определяют коэффициенты характеристического уравнения р_i

q₁ = -р₁, q₂ = -р₂,..., q_m = -р_m.

Существуют и другие методы раскрытия характеристического определителя: метод Крылова, Данилевского и др.

4.1.3 Метод Данилевского

Две матрицы A и B называются подобными, если одна получается из другой путем преобразования с помощью некоторой не вырожденной матрицы S:

B=S^-1*AS,

если это равенство справедливо, то матрицы A и B подобны, а само преобразование называется преобразованием подобия (переход к новому базису в пространстве m - мерных векторов).

Пусть y - результат применения матрицы A к вектору х

y =A* х.

Сделаем замену переменных:

Такую матрицу A с помощью преобразования подобия или же последовательности таких преобразований можно привести к матрице Фробениуса вида:

.

Детерминант матрицы F det (F) можно разложить по элементам первой строки:

.

Тогда коэффициенты характеристического многочлена матрицы А будут р₁ = f₁₁ , p₂ = f_12,…, p_n = f_1m.

Второй случай. Матрицу А преобразованием подобия можно привести к матрице В верхнего треугольного вида

.

Тогда собственными числами будут диагональные элементы матрицы B:

.

Третий случай. Матрицу A с помощью преобразования подобия можно привести к Жордановой форме

,

где l_i - собственные числа матрицы A; S_i - константы (0 или 1); если S_i=1, то l_i=l_i+1.

К четвёртому случаю относятся матрицы, которые с помощью преобразования подобия можно привести к диагональному виду (матрица простой структуры):

,

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?