Почему в кинематике вводят только первую и вторую производные от радиус-вектора:

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 15Следующая ⇒

первую – скорость и вторую – ускорение?



А если ввести некую w

v(t)     ,

dt



a(t)     .

dt

da(t)?

dt

Ввести такую производную можно, но для решения основной задачи меха- ники это не нужно. Основная задача механики – предсказать положения тел в

любой момент времени, т.е. предсказать вид функции

ri t

для всех изучаемых

тел. Однако в природе не существует фундаментального закона, что-либо ут- верждающего непосредственно о радиус-векторе материальной точки.

Закон обнаруживается на более глубоком уровне – на уровне второй про- изводной от радиус-вектора:

r (t)



– нет закона;



r (t)

r

 (t)

v – нет закона;

a

 – есть закон!

, см. (4.4).

Двигаясь по этой цепочке «обратным ходом», мы можем, получив из зако-

на природы (второй закон Ньютона) ускорение

a, найти сначала



v(t)

 (t),

r

затем и

r (t)

(см. §2, 3 лекции 3). Поэтому обычно нет необходимости диффе-

ренцировать r больше, чем два раза.

§2. Законы Ньютона

Основы классической динамики составляют три закона, сформулирован- ные И. Ньютоном в 1687 году. Это фундаментальные законы, они ниоткуда не выводятся и получены на основе осмысливания и обобщения многочисленных опытных данных. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета.

Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона

Инерциальная система отсчета – это система отсчета, в которой тела, не подверженные воздействию других тел, движутся прямолинейно и равномерно или покоятся.

Для описания многих механических движений в земных условиях инерци- альную систему отсчета связывают с Землей. Но так как при этом пренебрегают вращательным движением Земли вокруг собственной оси и движением Земли вокруг Солнца, эта система отсчета не является строго инерциальной. Более строго первый закон Ньютона выполняется в системе отсчета, начало коорди- нат которой совмещено с центром Солнца, а координатные оси проведены на какие-либо определенные звезды, которые принимают за неподвижные.

Первый закон Ньютона

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолиней- ного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изме- нить это состояние.

Сила. Масса. Импульс

Сила F – векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело других тел.

Величину силы можно определить опытным путем, используя прибор для измерения силы – динамометр.

Сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

Масса тела, m, – скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Инертность – неподатливость действию силы, свойство тела сохранять величи- ну и направление своей скорости, невозможность ее мгновенного изменения.

Импульс материальной точки – это вектор, равный, в механике Ньютона, произведению массы материальной точки на ее скорость:

(4.1)

v

m

Рис. 4.1

В релятивистской механике, т.е. при v с это определение импульса не справедливо. Импульс в этом случае (в теории относительности, см. лекцию

№ 12):

 mv

,                                         (4.2)

p     

1 v2 c2

здесь с = 3 10⁸ м/с – скорость света в вакууме.

Второй закон Ньютона

Скорость изменения импульса (т.е. производная импульса по времени) равна действующей на материальную точку равнодействующей силе:

,                                          (4.3)

.



 N

где F   Fi

i 1

Так как p mv (см. рис. 4.1), то из (4.3) следует, что:

d(mv) dt



F.                                   (4.3а)

При постоянной массе, т.е. m const, ее можно вынести за знак произ- водной:



m      F,

используя (2.7) и (2.8)),

dt

v

d   

a     ,

dt

мы получаем еще две формулы, выражающие второй закон Ньютона.

или

(4.4)

           .                                          (4.5)

Подчеркнем, что формулы (4.4) и (4.5) справедливы только при постоян- ной массе тела.

Как было показано в §3 предыдущей  лекции, для решения основной за-

дачи механики при произвольном движении материальной точки в пространст-

ве необходимо знать зависимость вектора ускорения от времени –



a(t)

– и на-

чальные условия:

v0 и

r0. Второй закон Ньютона в форме (4.4) позволяет най-

ти ускорение в данный момент времени, если известна равнодействующая сила

F. Таким образом, решение основной задачи механики для материальной точки

полностьюопределяется действующими на эту точку силами и начальными ус-

ловиями: v0 и r0. Для системы материальных точек необходимо задать на-

чальные условия для каждой точки:



v0i



и  r0i

– и силы взаимодействия между

материальными точками рассматриваемой системы.

А как определить действующие на материальную точку силы? Это можно

сделать, если из опыта известна

r(t)

– зависимость положения материальной

точки от времени. В этом случае, решая обратную задачу механики, можно ус- тановить действующие на материальную точку силы.

Кое-что о силах говорит третий закон Ньютона. Более конкретные сведе- ния о силах, полученные на основании опытных данных, приведены в §3 на- стоящей лекции.

Система СИ (System International)

В этой системе семь основных единиц, для них существуют эталоны. Это единицы:

длины – метр (м); массы – килограмм (кг); времени – секунда (с);

силы электрического тока – ампер (А); температуры – кельвин (К);

силы света – кандела (кд); количества вещества – моль (моль).

Все остальные единицы являются производными, их размерности опреде- ляются из формул, связывающих производные величины с основными.

В механике используются единицы измерения: метр, килограмм, секунда. Отметим, что с точки зрения логики, эти три единицы являются достаточ-

ными для введения производных от них величин не только в механике, но и во всей физике. Для практических же целей в качестве основных единиц выбира- ют такие эталоны, которые можно воспроизвести с наибольшей точностью.

Размерность силы

F m a кг м Н.

с2

1 ньютон (1Н) – это сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с.

Третий закон Ньютона

Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и проти- воположны по направлению. Пример – взаимодействие двух электрических за- рядов, изображенных на рис. 4.2.

F 12         F   21

Рис. 4.2

Обратим внимание, что силы, о которых говорится в третьем законе Нью- тона, приложены к разным телам (рис. 4.2) и являются силами одной природы.

Из третьего закона Ньютона следует, что для каждой силы можно указать тело, являющееся причиной этой силы. Если же указать такое тело – причину возникшей силы – не удается, то тогда причина «силы» – неинерциальность системы отсчета. Напомним, что законы Ньютона справедливы только в инер- циальных системах отсчета.

§3. Силы в природе

Все изучаемое физикой многообразие взаимодействий тел сводится к че- тырем видам:

1) гравитационному – описываемому законом всемирного тяготения;

2) электромагнитному – взаимодействию заряженных тел и частиц;

3) сильному (ядерному) – обеспечивающему связь частиц в атомном ядре;

4) слабому – ответственному за многие процессы распада элементарных час-

тиц.

В рамках классической механики имеют дело с гравитационными

и электромагнитными силами, которые являются фундаментальными, т.е. не- сводимыми к другим, более простым силам. Фундаментальные электромагнит- ные силы будут подробно изучены во второй части настоящего курса лекций.

В механике также приходится иметь дело с упругими силами и силами трения. Эти силы определяются электромагнитным взаимодействием между молекулами вещества, т.е. являются по своей природе электромагнитными. Следовательно, упругие силы и силы трения не являются фундаментальными. Законы действия этих сил описываются эмпирическими формулами, получен- ными на основе обобщения опытных данных.

Сила тяжести и вес

Исааком Ньютоном был сформулирован фундаментальный закон всемир- ного тяготения: силы, с которыми две материальные точки притягиваются друг к другу, пропорциональны их массам и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

где F – сила;

F G m1m2  ,                                         (4.6)

r2

m1 и m2 – массы материальных точек;

r – расстояние между ними,

G = 6,67 × 10 11 м ³ /кг с ² – гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения в форме (4.6) справедлив и для тел конечных размеров, при условии, что массы их распределены сферически симметрично.

При этом под r в формуле (4.6) уже следует понимать расстояние между цен- трами масс тел. Например, для определения по формуле (4.6) гравитационного взаимодействия Земли с телами, находящимися на ее поверхности, на место r надо поставить радиус Земли R₃.

Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле. В результате существования такого поля вокруг Земли на все тела, нахо-

дящиеся в этом поле, действует сила притяжения к Земле – сила тяжести P.

Эта сила направлена к центру Земли. Точка приложения вектора равнодейст- вующей силы тяжести называется центром тяжести тела.

Величину силы тяжести Р для тела массы m найдем, подставив в (4.6)

r = R₃, m₁ = m, m₂ = M₃. В результате получим:

P

где M₃ и R₃ – масса и радиус Земли.

mM з

R

G

2,

з

Так как Mз

з

GM

5,98

м

1024  кг, R

6,37

106 м, то

R

g

2

2

     з            9, 81

з                              с

– ускорение свободного падения.

Тогда сила тяжести равна:

(4.7)

Вес тела – это сила, с которой тело действует на подвес или опору вследст- вие гравитационного притяжения к Земле. Вес тела зависит от характера его движения. Если подвес или опора покоятся относительно Земли, то вес и сила тяжести равны друг другу. Если же точка крепления подвеса или опора движет- ся с ускорением, вес перестает быть равным силе тяжести.

Силы упругости

Упругие силы возникают в деформированном теле. Они уравновешивают внешние силы, вызвавшие деформацию.

Установленный экспериментально закон Гука утверждает, что при дефор- мации тела величина деформации х пропорциональна величине деформирую- щей силы F.

x      ,

k упр

где k_упр – коэффициент упругости (жесткости) тела, зависящий от свойств мате- риала, размеров и формы тела и вида деформации.

Следовательно, по третьему закону Ньютона, Fупр = -F, и для силы упруго- сти имеем:

Fупр

k упр x.                                    (4.8)

Следовательно, сила упругости направлена в сторону, противоположную абсолютной деформации х, и приложена к телам, вызывающим деформацию.

Силы трения

Силы трения возникают при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга.

Трение подразделяется на внешнее и внутреннее. Внутреннее трение в жидкостях и газах называется вязкостью. Внешнее трение возникает при отно- сительном перемещении двух соприкасающихся твердых тел. Опытным путем установлено, что максимальная сила трения покоя не зависит от площади со- прикасающихся тел и приблизительно пропорциональна модулю силы нор- мального давления, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

Fтр               Fn  ,                                          (4.9)

где – безразмерный множитель, называемый коэффициентом трения покоя. (он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей);

Fn – сила нормального давления (она направлена перпендикулярно тру-

щимся поверхностям).

В первом приближении можно считать силу внешнего трения не завися- щей от скорости движения (рис. 4.3)

Рис. 4.3                                      Рис. 4.4

Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную скорости v

(рис. 4.3).

При движении твердого тела в жидкости или газе, а также при взаимном перемещении слоев жидкости или газа, возникает вязкое трение. График зави- симости силы вязкого трения от скорости представлен на рис. 4.4.

Для вязкого трения характерно отсутствие трения покоя. Для относитель- но малых скоростей:

для больших скоростей:

Fтр



1 v,                                       (4.10)

Fтр

v2.                                        (4.11)

2

Направлена сила трения всегда против скорости.

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 4

1. Законы классической механики – три закона Ньютона – выполняются только в инерциальных системах отсчета. В инерциальных системах отсчета тела, не подверженные воздействию других тел, движутся прямолинейно и рав- номерно.

2. Основной закон динамики материальной точки – второй закон Ньютона

(4.3):



d 

p

F,

dt

где F

ку;

p

– векторная сумма всех сил, действующих на материальную точ-

mv (см. рис. 4.1) – импульс материальной точки.

3. При постоянной массе тела второй закон Ньютона можно записать в ви-

де (4.4) или (4.5):

 

ma F

или

m d  r 

2 

F.

dt 2

4. Силы в природе делятся на фундаментальные и нефундаментальные. Нефундаментальные силы сводятся к фундаментальным.

5. В классической механике имеют дело с двумя фундаментальными сила- ми: гравитационными и электромагнитными – и двумя нефундаментальными: силой упругости и силой трения.

6. Гравитационное взаимодействие двух материальных точек описывается законом всемирного тяготения (4.6):

F G m1m2  .

r 2

7. Сила тяжести Р – это сила гравитационного притяжения тела к Земле. На поверхности Земли сила тяжести (4.7):

P   .

8. Сила упругости возникает при деформации тела и описывается законом Гука (4.8):

здесь x – величина деформации;

Fупр

k упрx,

k упр

– коэффициент упругости.

9. Сила внешнего трения возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся твердых тел и определяется формулой (4.9):

Fтр         μFn ,

где – коэффициент трения,

Fn – сила нормального давления.

10. Сила вязкого трения возникает при движении тел в жидкостях и газах. Для малых скоростей (4.10):

Fтр



1v.

Для больших скоростей (4.11):

Fтр

v2.

11.

2

Силы трения всегда направлены против скорости.

ЛЕКЦИЯ № 5

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману